Kosinilaki: soveltaminen, esimerkkejä ja harjoituksia

THE Kosinilaki käytetään laskemaan minkä tahansa kolmion toisen sivun tai tuntemattoman kulman mitta, tietäen sen muut mitat.

Lausunto ja kaavat

Kosinilauseessa todetaan, että:

"Missä tahansa kolmiossa neliö toisella puolella on kahden toisen sivun neliöiden summa, josta on vähennetty näiden kahden sivun tulo kaksinkertaisesti niiden välisen kulman kosinin avulla.."

Siten kosinilain mukaan meillä on seuraavat suhteet kolmion sivujen ja kulmien välillä:

Esimerkkejä

1. Kolmion kaksi sivua ovat 20 cm ja 12 cm ja muodostavat 120 ° kulman niiden välille. Laske kolmannen puolen mitta.

Ratkaisu

Kolmannen puolen mitan laskemiseen käytämme kosinien lakia. Tarkastellaan tätä varten:

b = 20 cm
c = 12 cm
cos α = cos 120º = - 0,5 (arvo löytyy trigonometrisistä taulukoista).

Korvataan nämä arvot kaavassa:

² = 20² + 12² - 2. 20. 12. (- 0,5)
² = 400 + 144 + 240
² = 784
a = √784
a = 28 cm

Joten kolmas puoli mittaa 28 cm.

2. Määritä sivun AC mitta ja kulman mitta, jonka kärki on kohdassa A seuraavasta kuvasta:

Ensin määritetään AC = b:

B² = 8² + 10² – 2. 8. 10. cos 50.
B² = 164 – 160. cos 50.
B² = 164 – 160. 0,64279
b ≈ 7,82

Määritetään nyt kulmamitta kosinien lailla:

8² = 10² + 7,82² – 2. 10. 7,82. cos
64 = 161,1524 - 156,4 cos Â
cos  = 0,62
 = 52º

Merkintä: Löydämme kosinikulmien arvot käyttämällä Trigonometrinen taulukko. Siinä on kulmien arvot 1º - 90º kullekin trigonometriselle funktiolle (sini, kosini ja tangentti).

Sovellus

Kosinilakia voidaan soveltaa mihin tahansa kolmioon. Olkoon se teräväkulmainen (sisäkulma alle 90 °), tylpäkulmainen (sisäkulma suurempi kuin 90 °) tai suorakulmio (sisäkulma yhtä suuri kuin 90 °).

Kolmioiden esitys niiden sisäisistä kulmista

Entä suorakulmaiset kolmiot?

Sovelletaan kosinien lakia 90 ° kulmaa vastapäätä olevalle puolelle, kuten alla on osoitettu:

² = b² + c² - 2. B. ç. cos 90º

Kun cos 90º = 0, yllä olevasta lausekkeesta tulee:

² = b² + c²

Mikä on sama kuin Pythagoraan lause. Siten voimme sanoa, että tämä lause on kosinusten lain erityistapaus.

Kosinilaki soveltuu ongelmiin, joissa tunnemme kaksi puolta ja niiden välisen kulman ja haluamme löytää kolmannen puolen.

Voimme silti käyttää sitä, kun tunnemme kolmion kolme sivua ja haluamme tietää yhden sen kulmista.

Tilanteissa, joissa tunnemme kaksi kulmaa ja vain yhden sivun ja haluamme määrittää toisen puolen, on helpompaa käyttää syntien laki.

Määritelmä kosini ja sini

Kulman kosini ja sini on määritelty trigonometriset suhteet suorakulmiossa. Oikeaa kulmaa (90º) vastapäätä olevaa puolta kutsutaan hypotenukseksi ja kahta muuta puolta jalkoiksi alla olevan kuvan mukaisesti:

Oikean kolmion ja sen sivujen esitys: lonkat ja hypotenuus

Kosini määritetään sitten viereisen sivun ja hypotenuusin mittauksen väliseksi suhteeksi:

Sinus on toisaalta vastakkaisen jalan ja hypotenuusin mittauksen välinen suhde.

Valintakokeen harjoitukset

1. (UFSCar) Jos kolmion sivut ovat x, x + 1 ja x +2, niin kaikille x todellinen ja suurempi kuin 1, tämän kolmion suurimman sisäkulman kosini on:

a) x / x + 1
b) x / x + 2
c) x + 1 / x + 2
d) x - 2 / 3x
e) x - 3 / 2x

Katso Vastaus

Vaihtoehto e) x - 3 / 2x

2. (UFRS) Alla olevassa kuvassa esitetyssä kolmiossa AB: llä ja AC: llä on sama mitta, ja korkeus suhteessa sivuun BC on 2/3 BC: n mitasta.

Näiden tietojen perusteella kulman CÂB kosini on:

a) 7/25
b) 7/20
c) 4/5
d) 5/7
e) 5/6

Katso Vastaus

Vaihtoehto a) 7/25

3. (UF-Juiz de Fora) Kolmion kaksi sivua ovat 8 m ja 10 m ja muodostavat 60 ° kulman. Tämän kolmion kolmas sivu mittaa:

a) 2√21 m
b) 2√31 m
c) 2√41 m
d) 2√51 m
e) 2√61 m

Katso Vastaus

Vaihtoehto a) 2√21 m

Lue lisää aiheesta:

• Trigonometria
• Trigonometria suorakulmion kolmiossa
• Trigonometrian harjoitukset oikeassa kolmiossa
• Trigonometriset suhteet
• Trigonometrinen ympyrä
• Trigonometriset toiminnot