Kompleksiluvut: määritelmä, operaatiot ja harjoitukset

Kompleksiluvut ovat numerot, jotka koostuvat todellisesta ja kuvitteellisesta osasta.

Ne edustavat kaikkien järjestettyjen parien joukkoa (x, y), joiden elementit kuuluvat reaalilukujoukkoon (R).

Kompleksilukujoukko on merkitty Ç ja määritellään operaatioilla:

• Tasa-arvo: (a, b) = (c, d) ↔ a = c ja b = d
• Lisäys: (a, b) + (c, d) = (a + b + c + d)
• Kertolasku: (a, b). (c, d) = (ac - bd, ad + bc)

Kuvitteellinen yksikkö (i)

Ilmoitettu kirjeellä i, kuvitteellinen yksikkö on järjestetty pari (0, 1). Pian:

i. i = -1 ↔ i² = –1

Täten, i on –1: n neliöjuuri.

Z: n algebrallinen muoto

Z: n algebrallista muotoa käytetään kuvaamaan kompleksilukua kaavan avulla:

Z = x + yi

Missä:

• x on reaaliluku, joka on merkitty x = Re (Z), kutsutaan z: n todellinen osa.
• y on reaaliluku, jonka osoittaa y = Im (Z), kutsutaan kuvitteellinen osa Z: stä.

Monimutkainen konjugaatti

Kompleksiluvun konjugaatti on merkitty z, määritelty z = a - bi. Siten sen kuvitteellisen osan merkki vaihdetaan.

Joten jos z = a + bi, niin z = a - bi

Kun kerrotaan kompleksiluku sen konjugaatilla, tuloksesta tulee reaaliluku.

Kompleksilukujen tasa-arvo

Olla kaksi kompleksilukua Z₁ = (a, b) ja Z₂ = (c, d), ne ovat yhtä suuria, kun a = c ja b = d. Tämä johtuu siitä, että niillä on identtiset todelliset ja kuvitteelliset osat. Täten:

a + bi = c + di Kun a = c ja b = d

Toiminnot monimutkaisilla numeroilla

Kompleksiluvuilla on mahdollista suorittaa yhteenlasku-, vähennys-, kertolasku- ja jakooperaatiot. Katso alla olevat määritelmät ja esimerkit:

Lisäys

Z₁ + Z₂ = (a + c, b + d)

Algebrallisessa muodossa meillä on:

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + i (b + d)

Esimerkki:

(2 + 3i) + (–4 + 5i)
(2-4) + i (3 + 5)
–2 + 8i

Vähennyslasku

Z₁ - Z₂ = (a - c, b - d)

Algebrallisessa muodossa meillä on:

(a + bi) - (c + di) = (a - c) + i (b - d)

Esimerkki:

(4 - 5i) - (2 + i)
(4–2) + i (–5 –1)
2 - 6i

Kertolasku

(a, b). (c, d) = (ac - bd, ad + bc)

Algebrallisessa muodossa käytämme jakaumaominaisuutta:

(a + bi). (c + di) = ac + adi + bci + bdi² (i² = –1)
(a + bi). (c + di) = ac + adi + bci - bd
(a + bi). (c + di) = (ac - bd) + i (ad + bc)

Esimerkki:

(4 + 3i). (2 - 5i)
8 - 20i + 6i - 15i²
8 - 14i + 15
23 - 14i

Divisioona

Z₁/ Z₂ = Z₃
Z₁ = Z₂. Z₃

Edellä esitetyssä tasa-arvossa, jos Z₃ = x + yi, meillä on:

Z₁ = Z₂. Z₃

a + bi = (c + di). (x + yi)
a + bi = (cx - dy) + i (cy + dx)

Tuntemattomien x ja y järjestelmän avulla meillä on:

cx - dy = a
dx + cy = b

Pian,

x = ac + bd / c² + d²
y = bc - ad / c² + d²

Esimerkki:

2 - 5i / i
2 - 5i /. (- i) / (- i)
-2i + 5i²/–i²
5 - 2i

Valintakokeen harjoitukset palautteella

1. (UF-TO) Harkitse i kompleksilukujen kuvitteellinen yksikkö. Arvo lausekkeelle (i + 1)⁸ é:

a) 32i
b) 32
c) 16
d) 16i

Katso Vastaus

Vaihtoehto c: 16

2. (UEL-PR) Kompleksiluku z, joka tarkistaa yhtälön iz - 2w (1 + i) = 0 (w tarkoittaa z): n konjugaattia:

a) z = 1 + i
b) z = (1/3) - i
c) z = (1 - i) / 3
d) z = 1 + (i / 3)
e) z = 1 - i

Katso Vastaus

Vaihtoehto e: z = 1 - i

3. (Vunesp-SP) Tarkastellaan kompleksilukua z = cos π / 6 + i sin π / 6. z: n arvo³ + Z⁶ + Z¹² é:

siellä
b) ½ + √3 / 2i
c) i - 2
d) i
e) 2i

Katso Vastaus

Vaihtoehto d: i

Katso lisää kysymyksiä kommentoidulla ratkaisulla vuonna Harjoitukset monimutkaisilla numeroilla.

Videotunteja

Laajenna tietosi monimutkaisista numeroista katsomalla video "Johdatus monimutkaisiin numeroihin"

Johdanto kompleksilukuihin

Kompleksilukujen historia

Monimutkaisten numeroiden löytäminen tehtiin 1500-luvulla matemaatikko Girolamo Cardanon (1501-1576) panoksen ansiosta.

Matemaatikko Carl Friedrich Gauss (1777-1855) virallistti nämä tutkimukset kuitenkin vasta 1700-luvulla.

Tämä oli merkittävä edistysaskel matematiikassa, koska negatiivisella luvulla on neliöjuuri, jota kompleksilukujen löytämistä pidettiin mahdottomana.

Jos haluat lisätietoja, katso myös

• Numeeriset sarjat
• Polynomit
• irrationaaliset luvut
• 1. asteen yhtälö
• Teho ja säteily