Kahden pisteen välinen etäisyys on niitä yhdistävän viivasegmentin mitta.
Voimme laskea tämän mittauksen käyttämällä analyyttistä geometriaa.
Kahden tason pisteen välinen etäisyys
Tasossa piste määritetään täysin tietäen siihen liittyvä järjestetty pari (x, y).
Kahden pisteen välisen etäisyyden tuntemiseksi edustamme ne aluksi suorakulmion tasossa ja laskemme sitten tämän etäisyyden.
Esimerkkejä:
1) Mikä on etäisyys pisteiden A (1.1) ja B (3.1) välillä?
d (A, B) = 3 - 1 = 2
2) Mikä on etäisyys pisteiden A (4.1) ja pisteen B (1,3) välillä?
Huomaa, että pisteiden A ja B välinen etäisyys on yhtä suuri kuin suoran kolmion, jossa on jalat 2 ja 3, hypotenuus.
Joten käytämme Pythagoraan lause laskea annettujen pisteiden välinen etäisyys.
[hietakampela)]2 = 32 + 22 = √13
Kaavan kahden pisteen välisen etäisyyden kaava
Etäisyyskaavan löytämiseksi voimme yleistää esimerkissä 2 tehdyn laskennan.
Minkä tahansa kahden pisteen, kuten A (x1yy1) ja B (x2y2), meillä on:
Jos haluat lisätietoja, lue myös:
- tasogeometria
- Karteesinen suunnitelma
- suoraan
Kahden avaruuspisteen välinen etäisyys
Käytämme kolmiulotteista koordinaatistoa avaruuspisteiden esittämiseen.
Piste määritetään täysin avaruudessa, kun siihen on liitetty järjestetty kolmio (x, y, z).
Kahden avaruuspisteen välisen etäisyyden löytämiseksi voimme aluksi edustaa niitä koordinaatistossa ja suorittaa sitten laskelmat.
Esimerkki:
Mikä on pisteen A (3,1,0) ja pisteen B (1,2,0) välinen etäisyys?
Tässä esimerkissä näemme, että pisteet A ja B kuuluvat xy-tasoon.
Etäisyyden antaa:
[hietakampela)]2 = 12 + 22 = √5
Kahden avaruuspisteen välisen etäisyyden kaava
Jos haluat lisätietoja, lue myös:
- Spatiaalinen geometria
- Linjayhtälö
- Matemaattiset kaavat
Ratkaistut harjoitukset
1) Piste A kuuluu abscissa-akselille (x-akseli) ja on yhtä kaukana pisteistä B (3.2) ja C (-3.4). Mitkä ovat pisteen A koordinaatit?
Koska piste A kuuluu abscissa-akselille, sen koordinaatti on (a, 0). Joten meidän on löydettävä a: n arvo.
(0 - 3)2 + (- - 2)2 = (0 + 3)2 + (-4)2
9 + -2 - 4a +4 = 9 + a2 - 8. + 16
4. = 12
a = 3
(3.0) ovat pisteen A koordinaatit.
2) Etäisyys pisteestä A (3, a) pisteeseen B (0,2) on yhtä suuri kuin 3. Laske ordinaattiarvo a.
32 = (0 - 3)2 + (2 - a)2
9 = 9 + 4 - 4a + a2
2 - 4. +4 = 0
a = 2
3) ENEM - 2013
Viime vuosina televisio on käynyt läpi todellisen vallankumouksen kuvan laadun, äänen ja vuorovaikutuksen suhteen katsojan kanssa. Tämä muunnos johtuu analogisen signaalin muuntamisesta digitaaliseksi signaaliksi. Monissa kaupungeissa ei kuitenkaan vieläkään ole tätä uutta tekniikkaa. Televisioasema aikoo tuoda nämä edut kolmelle kaupungille rakentamaan uuden lähetystornin, joka lähettää signaalin näissä kaupungeissa jo olemassa oleville antenneille A, B ja C. Antennien sijainnit on esitetty suorakulmion tasossa:
Torni on sijoitettava yhtä kaukana kolmesta antennista. Oikea paikka tämän tornin rakentamiseksi vastaa koordinaattipistettä
a) (65; 35)
b) (53; 30)
c) (45; 35)
d) (50; 20)
e) (50; 30)
Oikea vaihtoehto e: (50; 30)
Katso myös: kahden pisteharjoituksen välinen etäisyys
4) ENEM - 2011
Kaupungin naapurusto suunniteltiin tasaiselle alueelle, yhdensuuntaisilla ja kohtisuorilla kaduilla, jotka rajoittivat samankokoisia lohkoja. Seuraavassa suorakulmion koordinaattitasossa tämä naapurusto sijaitsee toisessa kvadrantissa ja etäisyydet
akselit ilmoitetaan kilometreinä.
Yhtälön suora viiva y = x + 4 edustaa naapuruston ja kaupungin muiden alueiden ylittävän maanalaisen metrolinjan reitin suunnittelua.
Pisteessä P = (-5,5) sijaitsee julkinen sairaala. Yhteisö kehotti suunnittelukomiteaa suunnittelemaan metroaseman siten, että sen etäisyys sairaalaan mitattuna suorana ei ylitä 5 km.
Vastauksena yhteisön pyyntöön komitea perusteli oikein, että tämä saavutettaisiin automaattisesti, koska aseman rakentaminen pisteeseen oli jo suunniteltu.
a) (-5,0)
b) (-3,1)
c) (-2,1)
d) (0,4)
e) (2.6)
Oikea vaihtoehto b: (-3.1).
Katso myös: analyyttisen geometrian harjoituksia
