Monimutkaiset numeroharjoitukset: Luettelo ratkaistuista kysymyksistä ja palautteesta

Sinä kompleksiluvut mahdollistaa sellaisten matemaattisten ongelmien ratkaiseminen, joilla ei ole ratkaisuja joukossa reaaliluvut.

Kompleksiluvussa, joka on kirjoitettu muodossa $\ dpi {120} z = a + bi$ , sanomme sen $\ dpi {120} -$ on todellinen osa, $\ dpi {120} b$ on kuvitteellinen osa ja $\ dpi {120} i = \ sqrt {-1}$ se on kuvitteellinen yksikkö.

Esiintyä operaatiot kompleksiluvuilla, on joitain lausekkeita, jotka helpottavat laskutoimituksia. Harkitse $\ dpi {120} z_1 = a + bi$ ja $\ dpi {120} z_2 = c + di$ .

Lauseke kompleksilukujen välillä:

$\ dpi {120} z_1 + z_2 = (a + c) + (b + d) i$

Vähennyksen ilmaisu kompleksilukujen välillä:

$\ dpi {120} z_1 - z_2 = (a-c) + (b - d) i$

Laskennan ilmaiseminen kompleksilukujen välillä:

$\ dpi {120} z_1 \ cdot z_2 = (ac - db) + (ad + cb) i$

Kompleksilukujen jakamisen ilmaisu:

$\ dpi {120} \ frac {z_1} {z_2} = \ frac {(ac + bd)} {c ^ 2 + d ^ 2} + \ frac {(bc - ad)} {c ^ 2 + d ^ 2 } i$

Alla on luettelo kysymykset, jotka on ratkaistu kompleksilukujen harjoituksilla. Opi käyttämään kaikkia näitä numeroita käsitteitä!

Indeksi

Luettelo kompleksilukujen harjoituksista
Kysymyksen 1 ratkaisu
Kysymyksen 2 ratkaisu
Kysymyksen 3 ratkaisu
Kysymyksen 4 ratkaisu
Kysymyksen 5 ratkaisu
Kysymyksen 6 ratkaisu
Kysymyksen 7 ratkaisu
Kysymyksen 8 ratkaisu

Luettelo kompleksilukujen harjoituksista

Kysymys 1. Ottaen huomioon kompleksiluvut $\ dpi {120} z_1 = 2 + 3i$ , $\ dpi {120} z_2 = 2 - 5i$ ja $\ dpi {120} z_3 = -1 + 4i$ määrittää arvon $\ dpi {120} A$ , Kun $\ dpi {120} A = z_2 + 4z_3 -3z_1$ .

Kysymys 2. Etsi arvot $\ dpi {120} x$ ja $\ dpi {120} y$ sellainen $\ dpi {120} (2 + xi) + (y-5i) = 3-i$ .

instagram story viewer

Kysymys 3. Ottaen huomioon kompleksiluvut $\ dpi {120} z_1 = -2 - 5i$ ja $\ dpi {120} z_2 = 1 + 3i$ , määritä arvon $\ dpi {120} A \ cdot B$ , Kun $\ dpi {120} A = z_1 \ cdot \ bar {z_1}$ ja $\ dpi {120} B = z_2 \ cdot \ bar {z_2}$ .

Kysymys 4. Laske arvo $\ dpi {120} s$ ja $\ dpi {120} q$ minkä vuoksi $\ dpi {120} z_1: z_2 = q + 2i$ , Kun $\ dpi {120} z_1 = 3 - pi$ ja $\ dpi {120} z_2 = 1 + 2i$ .

Kysymys 5. Määritä arvo $\ dpi {120} -$ minkä vuoksi $\ dpi {120} (a + 3i): (3 + 2i)$ olla puhdas kuvitteellinen luku.

Kysymys 6. Laske seuraavat kuvitteelliset yksikkötehot $\ dpi {120} i$ :

) $\ dpi {120} i ^ {16}$
B) $\ dpi {120} i ^ {200}$
ç) $\ dpi {120} i ^ {829}$
d) $\ dpi {120} i ^ {11475}$

Kysymys 7. Etsi yhtälön ratkaisu $\ dpi {120} x ^ 2 + 9 = 0$ kompleksilukujen joukossa.

Kysymys 8. Määritä yhtälön ratkaisu $\ dpi {120} x ^ 2 + x + 1 = 0$ kompleksilukujen joukossa.

Kysymyksen 1 ratkaisu

Meillä on $\ dpi {120} z_1 = 2 + 3i$ ja $\ dpi {120} z_2 = 2 - 5i$ ja $\ dpi {120} z_3 = -1 + 4i$ ja haluamme määrittää arvon $\ dpi {120} A$ , Kun $\ dpi {120} A = z_2 + 4z_3 -3z_1$ .

Ensin lasketaan $\ dpi {120} 4z_3$ ja $\ dpi {120} 3z_1$ , erikseen:

$\ dpi {120} 4z_3 = 4. (- 1 + 4i) = -4 + 16i$

$\ dpi {120} 3z_1 = 3. (2 + 3i) = 6 + 9i$

Nyt lasketaan $\ dpi {120} A$ :

$\ dpi {120} A = z_2 + 4z_3 -3z_1$

$\ dpi {120} \ Oikea nuoli A = (2 - 5i) + (- 4 + 16i) - (6 + 9i)$

$\ dpi {120} \ Oikea nuoli A = (2-4-6) + (-5 + 16-9) i$

$\ dpi {120} \ Oikea nuoli A = -8 + 2i$

Kysymyksen 2 ratkaisu

Haluamme löytää x ja y niin $\ dpi {120} (2 + xi) + (y-5i) = 3-i$ .

Ilmaisemalla kahden kompleksiluvun välinen summa, meidän on:

$\ dpi {120} (2 + xi) + (y-5i) = 3-i$

$\ dpi {120} \ Oikea nuoli (2 + y) + (x-5) i = 3-i$

Joten meillä on oltava $\ dpi {120} (2 + y) = 3$ ja $\ dpi {120} (x-5) i = -i$ . Ratkaistaan nämä kaksi yhtälöä löytääksesi x ja y.

$\ dpi {120} (2 + y) = 3 \ Rightarrow y = 3-2 \ Rightarrow y = 1$

$\ dpi {120} (x-5) i = -i \ Rightarrow x- 5 = -1 \ Rightarrow x = -1 + 5 \ Rightarrow x = 4$

Kysymyksen 3 ratkaisu

Meillä on $\ dpi {120} z_1 = -2 - 5i$ ja $\ dpi {120} z_2 = 1 + 3i$ ja haluamme määrittää arvon $\ dpi {120} A \ cdot B$ , Kun $\ dpi {120} A = z_1 \ cdot \ bar {z_1}$ ja $\ dpi {120} B = z_2 \ cdot \ bar {z_2}$ .

Ensin laskemme $\ dpi {120} A = z_1 \ cdot \ bar {z_1}$ .

$\ dpi {120} A = z_1 \ cdot \ bar {z_1}$

$\ dpi {120} \ Oikea nuoli A = (-2 - 5i) \ cdot (-2 + 5i)$

Kahden kompleksiluvun välisen kertolaskun avulla meidän on:

$\ dpi {120} A = [(- 2) \ cdot (-2) - (- 5) \ cdot 5] + [(- 2) \ cdot 5 + (-5) \ cdot (-2)]$

$\ dpi {120} \ Oikea nuoli A = [4 +25] + [- 10 +10]$

$\ dpi {120} \ Oikea nuoli A = 29$

Nyt lasketaan $\ dpi {120} B = z_2 \ cdot \ bar {z_2}$ .

$\ dpi {120} B = z_2 \ cdot \ bar {z_2}$

$\ dpi {120} \ Oikea nuoli B = (1 + 3i) \ cdot (1-3i)$

$\ dpi {120} \ Oikea nuoli B = [1 \ cdot 1-3 - cdot (-3)] + [1 \ cdot (-3) +1 \ cdot 3] i$

$\ dpi {120} \ Oikea nuoli B = [1 + 9] + [- 3 + 3] i$

$\ dpi {120} \ Oikea nuoli B = 10$

Siksi, $\ dpi {120} A \ cdot B = 29 \ cdot 10 = 290$ .

Kysymyksen 4 ratkaisu

Haluamme laskea arvon $\ dpi {120} s$ ja $\ dpi {120} q$ minkä vuoksi $\ dpi {120} z_1: z_2 = q + 2i$ , Kun $\ dpi {120} z_1 = 3 - pi$ ja $\ dpi {120} z_2 = 1 + 2i$ .

Se tarkoittaa löytämistä $\ dpi {120} s$ ja $\ dpi {120} q$ jotta:

Katso joitain ilmaisia kursseja

Ilmainen online-osallistava koulutuskurssi
Ilmainen online-lelukirjasto ja oppimiskurssi
Ilmainen online esiopetuksen matematiikkakurssi
Ilmainen online-pedagoginen kulttuurityöpaja -kurssi

$\ dpi {120} \ frac {3-pi} {1 + 2i} = q + 2i$

Kahden kompleksiluvun välisen jakauman ilmaisulla meidän on:

$\ dpi {120} \ frac {3-pi} {1 + 2i} = \ frac {[3 \ cdot 1 + (- p) \ cdot 2]} {1 ^ 2 + 2 ^ 2} + \ frac {[ (-p) \ cdot 1-3 \ cdot 2]} {1 ^ 2 + 2 ^ 2} i = \ frac {3 - 2p} {5} + \ frac {(- p - 6)} {5} i$

Yhdistämällä nämä kaksi ehtoa meillä on oltava:

$\ dpi {120} \ frac {3 - 2p} {5} + \ frac {(- p - 6)} {5} i = q + 2i$

Eli:

$\ dpi {120} \ frac {3 - 2p} {5} = q \: \: \ mathrm {e} \: \: \ frac {(- p-6)} {5} i = 2i$

Ratkaistaan kukin näistä yhtälöistä, alkaen toisesta, joka riippuu vain p: stä.

$\ dpi {120} \ frac {(- p-6)} {5} i = 2i$

$\ dpi {120} \ Rightarrow \ frac {(- p-6)} {5} = 2$

$\ dpi {120} \ Rightarrow -p - 6 = 10$

$\ dpi {120} \ Oikea nuoli p = -16$

Nyt löydämme q toisen yhtälön perusteella:

$\ dpi {120} \ frac {3 - 2p} {5} = q$

$\ dpi {120} \ Rightarrow \ frac {3 - 2 \ cdot (-16)} {5} = q$

$\ dpi {120} \ Oikea nuoli q = 7$

Kysymyksen 5 ratkaisu

Haluamme löytää arvon $\ dpi {120} -$ minkä vuoksi $\ dpi {120} (a + 3i): (3 + 2i)$ olla puhdas kuvitteellinen luku.

Puhdas kuvitteellinen luku on luku, jonka todellinen osa on nolla.

Kun otetaan huomioon kahden kompleksiluvun välisen jakauman ilmaisu, meillä on se:

$\ dpi {120} \ frac {a + 3i} {3 + 2i} = \ frac {a \ cdot 3 + 3 \ cdot 2} {3 ^ 3 + 2 ^ 2} + \ frac {3 \ cdot 3 - a \ cdot 2} {3 ^ 3 + 2 ^ 2} i = \ frac {3a + 6} {13} + \ frac {9-2a} {13} i$

Jotta tämä luku olisi puhdas kuvitteellinen, meillä on oltava:

$\ dpi {120} \ frac {3a + 6} {13} = 0$

$\ dpi {120} \ Oikea nuoli 3a + 6 = 0$

$\ dpi {120} \ Oikea nuoli a = -2$

Kysymyksen 6 ratkaisu

Määrittelemällä tehot ja kompleksiluvut meidän on:

$\ dpi {120} i ^ 0 = 1$
$\ dpi {120} i ^ 1 = i$
$\ dpi {120} i ^ 2 = -1$
$\ dpi {120} i ^ 3 = -i$
$\ dpi {120} i ^ 4 = 1$
$\ dpi {120} i ^ 5 = i$
$\ dpi {120} i ^ 6 = -1$
$\ dpi {120} i ^ 7 = -i$

Tarkkaile mallia, joka toistuu joka neljäs peräkkäinen voima: 1, i, -1 ja -i.

Joten löytää tulos millä tahansa i: n voimalla jakamalla eksponentti 4: llä. Jaon loppuosa on 0, 1, 2 tai 3, ja tämä arvo on se eksponentti, jota meidän tulisi käyttää.

) $\ dpi {120} i ^ {16}$

16: 4 = 4 ja loput ovat 0.

Sitten, $\ dpi {120} i ^ {16} = i ^ 0 = 1$ .