Puolikaaren trigonometriset toiminnot

Klo trigonometriset toiminnotkaaripuoliskon sini, kosini ja tangentti saadaan kaksoiskaaren trigonometrisistä funktioista.

Annetaan mittakaari $\ dpi {120} \ alfa$ , kaksoisjousi on jousi $\ dpi {120} 2 \ alfa$ ja puolikas jousi on jousi $\ dpi {120} \ alfa / 2$ .

Tekijä kaksi kaaren lisäyskaavaa, meillä on kaksoiskaaren trigonometriset toiminnot:

Sini:

$\ dpi {120} \ mathrm {sen (2 {\ alpha}) = sen ({\ alpha + \ alpha}) = sin \, {\ alpha} \ cdot cos \, {\ alpha} + sin \, {\ alfa} \ cdot cos \, {\ alpha}}$

$\ dpi {120} \ Rightarrow \ mathbf {sen (2 \ lihavoitu symboli {\ alpha}) = 2. (sen \, \ boldsymbol {\ alpha} \ cdot cos \, \ boldsymbol {\ alpha})}$

kosini:

$\ dpi {120} \ mathrm {cos (2 {\ alpha}) = cos ({\ alpha + \ alpha}) = cos \, {\ alpha} \ cdot cos \, {\ alpha} - synti, {\ alfa} \ cdot sin \, {\ alpha}}$

$\ dpi {120} \ Rightarrow \ mathbf {cos (2 \ boldsymbol {\ alpha}) = cos ^ 2 \, \ boldsymbol {\ alpha} - sen ^ 2 \, \ boldsymbol {\ alpha}}$

Tangentti:

$\ dpi {120} \ mathrm {tan (2 {\ alpha}) = tan ({\ alpha + \ alpha}) = \ frac {tan \, {\ alpha} + tan \, {\ alpha}} {1 - tan \, {\ alpha} \ cdot tan \, {\ alpha}}}$

$\ dpi {120} \ Rightarrow \ mathbf {tan (2 \ boldsymbol {\ alpha}) = \ frac {2 \ cdot tan \, \ boldsymbol {\ alpha}} {1 - tan ^ 2 \, boldsymbol {\ alfa }}}$

Näistä kaavoista näytämme kaavat puolikaarigigonometriset toiminnot.

Puolikaaren trigonometriset toiminnot

Yksi trigonometrian perussuhteet onko tuo:

$\ dpi {120} \ mathbf {sen ^ 2 \ lihavoitu symboli {\ alpha} + cos ^ 2 \ lihavoitu symboli {\ alpha} = 1}$

Mistä saamme:

$\ dpi {120} \ mathrm {sen ^ 2 \ alpha = 1 - cos ^ 2 \ alpha}$

$\ dpi {120} \ mathrm {cos ^ 2 \ alpha = 1-sen ^ 2 \ alpha}$

korvaa $\ dpi {120} \ mathrm {sen ^ 2 \ alpha = 1 - cos ^ 2 \ alpha}$ kaksoiskaaren kosinin kaavassa meidän on:

$\ dpi {120} \ mathrm {cos (2 {\ alpha}) = cos ^ 2 \, {\ alpha} - sin ^ 2 \, {\ alpha} = cos ^ 2 \, {\ alfa} - (1 - cos ^ 2 \, {\ alfa})}$

Katso joitain ilmaisia kursseja

Ilmainen online-osallistava koulutuskurssi
Ilmainen online-lelukirjasto ja oppimiskurssi
Varhaiskasvatuksen ilmainen online-matematiikkakurssi
Ilmainen online-pedagoginen kulttuurikurssi

$\ dpi {120} \ mathrm {= 2osaa ^ 2 \, {\ alfa} - 1}$

Siksi: $\ dpi {120} \ mathrm {cos (2 \ alfa) = 2osaa ^ 2 \, {\ alfa} - 1}$

$\ dpi {120} \ Rightarrow \ mathrm {cos ^ 2 \, {\ alpha} = \ frac {1 + cos (2 \ alpha)} {2}}$

korvaa $\ dpi {120} \ alfa$ per $\ dpi {120} \ alfa / 2$ yllä olevassa kaavassa ja poimimalla neliöjuuri molemmilta puolilta, meillä on kaava valokaaren kosini:

$\ dpi {120} \ mathbf {cos \, {(\ boldsymbol {\ alpha} / 2)} = \ pm \ sqrt {\ frac {1 + cos \, \ boldsymbol {\ alpha}} {2}}}$

Huomaa: Kaavan merkki on positiivinen tai negatiivinen kaaripuoliskon kvadrantin mukaan.

Nyt korvaamassa $\ dpi {120} \ mathrm {cos ^ 2 \ alpha = 1-sen ^ 2 \ alpha}$ kaksoiskaaren kosinin kaavassa meidän on:

$\ dpi {120} \ mathrm {cos (2 {\ alpha}) = cos ^ 2 \, {\ alpha} - sin ^ 2 \, {\ alpha} = (1 -sen ^ 2 \, {\ alfa}) - sen ^ 2 \, {\ alpha}}$

$\ dpi {120} \ mathrm {= 1-2sen ^ 2 \, {\ alpha}}$

Siksi:

$\ dpi {120} \ mathrm {cos (2 \ alfa) = 1-2sen ^ 2 \, {\ alpha}}$

$\ dpi {120} \ Rightarrow \ mathrm {sen ^ 2 \, {\ alpha} = \ frac {1-cos (2 \ alpha)} {2}}$

korvaa

instagram story viewer

$\ dpi {120} \ alfa$ per $\ dpi {120} \ alfa / 2$ yllä olevassa kaavassa ja poimimalla neliöjuuri molemmilta puolilta, meillä on kaava sinikaari puoli:

$\ dpi {120} \ mathbf {sen \, {(\ boldsymbol {\ alpha} / 2)} = \ pm \ sqrt {\ frac {1-cos \, \ boldsymbol {\ alpha}} {2}}}$

Huomaa: Kaavan merkki on positiivinen tai negatiivinen kaaripuoliskon kvadrantin mukaan.

Lopuksi voimme saada kaaripuoliskon tangentin jakamalla kaaripuoliskon sinin kaaripuoliskon kosinilla:

$\ dpi {120} \ mathrm {tan (\ alpha / 2) = \ frac {sen (\ alpha / 2)} {cos (\ alpha / 2)} = \ frac {\ sqrt {\ frac {1 - cos \, \ alpha} {2}}} {\ sqrt {\ frac {1 + cos \, \ alpha} {2}}} = \ sqrt {\ frac {1 - cos \, \ alpha} {1 + cos \, \ alpha}}}$

Siksi kaava puolikaarinen tangentti é:

$\ dpi {120} \ mathbf {tan (\ boldsymbol {\ alpha} / 2) = \ pm \ sqrt {\ frac {1 - cos \, \ boldsymbol {\ alpha}} {1 + cos \, \ boldsymbol {\ alfa}}}}$

Huomaa: Kaavan merkki on positiivinen tai negatiivinen kaaripuoliskon kvadrantin mukaan.

Saatat myös olla kiinnostunut:

trigonometrinen ympyrä
trigonometrinen taulukko
Trigonometriset suhteet
syntien laki
kosinilaki

Salasana on lähetetty sähköpostiisi.

Puolikaaren trigonometriset toiminnot

Puolikaaren trigonometriset toiminnot

Rio de Janeiro kartta

Maidon kahvipolitiikka

Ajoneuvon nopeus