O Pascalin kolmio se on aika vanha matematiikkatyökalu. Koko historian ajan se on saanut useita nimiä, mutta nykyään eniten hyväksytyt aritmeettinen kolmio ja Pascalin kolmio. Toinen nimi on kunnianosoitus matemaatikolle, joka teki useita panoksia tämän kolmion tutkimiseen. tarkoittaa, että kolmio on hänen keksimänsä, mutta hän oli se, joka tutki tätä syvemmin työkalu.
Pascalin kolmion ominaisuuksista on mahdollista rakentaa se loogisesti. Myös erottuu sinun suhde yhdistelmiä tutkittu kombinatorisessa analyysissä. Pascalin kolmion termit vastaavat myös binomikertoimia, ja siksi se on erittäin hyödyllinen minkä tahansa Newtonin binomin laskemisessa.
Lue myös: Briot-Ruffini-laite - menetelmä polynomien jakamiseksi
Pascalin kolmion rakentaminen
Pascalin kolmio tuotetaan yhdistelmien tuloksestaon kuitenkin käytännön menetelmä, joka helpottaa tapaa rakentaa se. Ensimmäinen rivi ja ensimmäinen sarake lasketaan riviksi nolla ja sarake nolla. Voimme käyttää niin monta riviä kuin tarvitaan tässä rakenteessa kolmiolla voi siis olla äärettömät viivat. Linjojen laatimisen perustelut ovat aina samat. Katso:
Tiedämme sen kolmion termit ovat yhdistelmiä, opiskeli vuonna kombinatorinen analyysi. Pascalin kolmion korvaamiseksi numeerisilla arvoilla tiedämme, että luvun nolla ja luvun itsensä yhdistelmät ovat aina yhtä suuria. Siksi ensimmäinen ja viimeinen arvo ovat aina 1.
Muiden löytämiseksi aloitamme rivillä 2, koska linjat 0 ja 1 ovat jo valmiit. Rivillä 2 lisätään termi sen yläpuolelle samaan sarakkeeseen ja sen yläpuolelle edelliseen sarakkeeseen, jotta löydettäisiin yhdistelmä 2: stä 1: een, eli rivillä 1, yllä olevalla rivillä, kuten kuvassa :
Linjan 2 rakentamisen jälkeen on mahdollista rakentaa linja 3 samalla tavalla.
Jatkamalla tätä menettelyä löydämme kaikki termit - tässä tapauksessa riville 5 asti -, mutta on mahdollista rakentaa niin monta riviä kuin tarpeen.
Pascalin kolmion ominaisuudet
On joitakin Pascalin kolmion ominaisuudet, johtuen sen rakenteen säännöllisyydestä. Nämä ominaisuudet ovat hyödyllisiä työskenneltäessä yhdistelmien kanssa, itse kolmion viivojen rakentamiseksi sekä viivojen, sarakkeiden ja lävistäjien summan kanssa.
1. omaisuus
Ensimmäinen ominaisuus oli se, jota käytimme kolmion rakentamiseen. Joten löytää termi Pascalin kolmiosta, lisää vain termi, joka on rivillä sen yläpuolella, ja sama sarake termillä, joka on sarakkeessa ja rivillä sitä edeltävällä rivillä. Tätä ominaisuutta voidaan esittää seuraavasti:
Tämä ominaisuus tunnetaan nimellä Stifelin suhde ja on tärkeää helpottaa kolmion rakentamista ja löytää kunkin viivan arvot.
Älä lopeta nyt... Mainonnan jälkeen on enemmän;)
2. omaisuus
Kaikkien rivillä olevien termien summa lasketaan seuraavasti:
sei=2ei, mistä ei on rivinumero.
Esimerkkejä:
Tämän ominaisuuden avulla on mahdollista tietää kaikkien rivillä olevien termien summa tarvitsematta välttämättä rakentaa Pascalin kolmiota. Esimerkiksi rivin 10 summa voidaan laskea 2: lla10 = 1024. Vaikka kaikkia termejä ei tunneta, on jo mahdollista tietää koko rivin summa-arvo.
3. omaisuus
Kyseisen sarakkeen termien summa tietyn sarakkeen alusta P tietylle riville ei on sama kuin rivillä oleva termi n +1 takaosa ja sarake p +1 myöhemmin, kuten alla on esitetty:
4. omaisuus
Sarakkeesta 0 alkavan ja sarakkeen p ja rivin n termiin menevän diagonaalin summa on yhtä suuri kuin saman sarakkeen (p) mutta alla olevan rivin (n + 1) termi, kuten kuvassa näkyy :
5. kiinteistö
Pascalin kolmion linjoilla on symmetria. Ensimmäinen ja toinen termi ovat samat, toinen ja viimeinen termi ovat samat ja niin edelleen.
Esimerkki:
Rivi 6: 1615 20 156 1.
Huomaa, että termit ovat yhtä suuria kuin kaksi, lukuun ottamatta keskeistä termiä.
Katso myös: Polynomijako: miten se ratkaistaan?
Newtonin binomi
Määritämme Newtonin binomin a yhden voima polynomi jolla on kaksi termiä. Binomiaalin laskeminen liittyy Pascal-kolmioon, josta tulee mekanismi laskemaan niin sanottuja binomikertoimia. Binomiaalin laskemiseksi käytämme seuraavaa kaavaa:
Huomaa, että se pienenee, kunnes viimeisellä aikavälillä se on yhtä suuri kuin 0. Tiedämme, että jokainen 0: een korotettu luku on yhtä suuri kuin 1, joten termi ei näy viimeisellä termillä. Huomaa myös, että eksponentti B alkaa jollakin B0, pian B ei ilmesty ensimmäisellä aikavälillä ja kasvaa vasta saavuttamiseen Bei, viime kaudella.
Lisäksi kutakin termiä täydentävää numeroa kutsutaan kertoimeksi - jota tässä tapauksessa kutsutaan binomiseksi kertoimeksi. Jos haluat ymmärtää paremmin tämäntyyppisen binomin ratkaisemisen, tutustu tekstiin: Newtonin binomi.
binomi kerroin
Binominen kerroin on vain yhdistelmä, joka voidaan laskea kaavalla:
Newtonin binomiaalin laskemisen helpottamiseksi on kuitenkin välttämätöntä käyttää Pascal-kolmiota, koska se antaa meille yhdistelmän tuloksen nopeammin.
Esimerkki:
Löydämme binomikertoimen tuloksen etsimällä Pascalin kolmion rivin 5 arvot, jotka ovat {1,5,10,10,5,1}.
(x + y)5= 1x5+ 5x4y + 10x3y2+ 10x2y3 + 5xy4+ 1v5
Yksinkertaistettuna:
(x + y)5= x5+ 5x4y + 10x3y2+ 10x2y3 + 5xy4+ y5
ratkaistut harjoitukset
Kysymys 1 - Alla olevan lausekkeen arvo on?
A) 8
B) 16
C) 2
D) 32
E) 24
Resoluutio
Vaihtoehto A.
Ryhmittelemällä positiiviset ja negatiiviset arvot meidän on:
Huomaa, että laskemme itse asiassa Pascalin kolmion rivien 4 ja 3 välisen vähennyksen. Omaisuuden mukaan tiedämme, että:
s4 = 24 = 16
s3= 23 = 8
16 – 8 = 8.
Kysymys 2 - Mikä on alla olevan lausekkeen arvo?
A) 32
B) 28
C) 256
D) 24
E) 54
Resoluutio
Vaihtoehto B.
Huomaa, että lisäämme termit Pascalin kolmion sarakkeesta 1 riville 7 ja sitten kolmannelle ominaisuus, tämän summan arvo on sama kuin termi, joka vie rivit 7 + 1 ja sarake 1 + 1, ts. rivi 8, sarake 2. Koska haluamme vain yhden arvon, koko Pascal-kolmion rakentaminen ei ole kätevää.
Kirjailija: Raul Rodrigues de Oliveira
Matematiikan opettaja
