Ratkaista järjestelmätlineaarinen se on hyvin toistuva tehtävä luonnontieteiden ja matematiikan opinnoille. Tuntemattomien arvojen etsiminen johti lineaaristen järjestelmien ratkaisumenetelmien kehittämiseen, kuten lisäys-, tasa-arvo- ja korvausmenetelmä järjestelmille, jotka ovat kaksi yhtälöä ja kaksi tuntematontaja Crammerin sääntö ja skaalaus, jotka ratkaisevat kahden yhtälön lineaariset järjestelmät, mutta jotka ovat kätevämpiä järjestelmille, joissa on enemmän yhtälöitä. Lineaarinen järjestelmä on kahden tai useamman yhtälön joukko, jossa on yksi tai useampi tuntematon.
Lue myös:Mikä on matriisien ja lineaaristen järjestelmien suhde?
lineaarinen yhtälö
Työ yhtälöiden kanssa on olemassa täytyy löytää tuntemattomat tuntemattomat arvot. Kutsumme sitä yhtälöksi, kun algebrallinen lauseke on tasa-arvoinen, ja se luokitellaan lineaariseksi, kun sen tuntemattomien suurin eksponentti on 1, kuten seuraavissa esimerkeissä esitetään:
2x + y = 7 → lineaarinen yhtälö kahdella tuntemattomalla
a + 4 = -3 → lineaarinen yhtälö yhdellä tuntemattomalla
Lineaarinen yhtälö voidaan yleensä kuvata seuraavasti:
1x1 +2x2 + a3x3... + aeixei = c
Tiedämme yhtälöjärjestelmänä, kun lineaarista yhtälöä on enemmän kuin yksi. Aloitetaan kahden tuntemattoman lineaarisilla järjestelmillä.
Älä lopeta nyt... Mainonnan jälkeen on enemmän;)
Lineaaristen järjestelmien ratkaiseminen
Lineaariset järjestelmät kahdella 1. asteen yhtälöllä ja kahdella tuntemattomalla
Kahden yhtälön ja kahden tuntemattoman järjestelmän ratkaisemiseksi on useita menetelmiä, kolme tunnetuinta ovat:
- vertailumenetelmä
- lisäysmenetelmä
- korvausmenetelmä
Mikä tahansa kolmesta voi ratkaista kahden yhtälön ja kahden tuntemattoman lineaarisen järjestelmän. Nämä menetelmät eivät ole yhtä tehokkaita järjestelmille, joissa on enemmän yhtälöitä, koska niiden ratkaisemiseksi on olemassa muita erityisiä menetelmiä.
Korvausmenetelmä
Korvausmenetelmä koostuu eristä yksi tuntemattomista yhdessä yhtälöistä ja suorita korvaus toisessa yhtälössä.
Esimerkki:
1. vaihe: eristä yksi tuntemattomista.
Kutsumme I ensimmäiseksi yhtälöksi ja II toiseksi yhtälöksi. Analysoimme näitä kahta valitse tuntematon, joka on helpoin eristää. Huomaa, että yhtälö I → x + 2y = 5, x: llä ei ole kerrointa, mikä helpottaa eristämistä, joten kirjoitamme seuraavan yhtälön:
I → x + 2y = 5
I → x = 5 - 2v
2. vaihe: korvata I kohdassa II.
Nyt kun meillä on yhtälö I pelkällä x: llä, yhtälössä II voimme korvata x: llä 5 - 2y.
II → 3x - 5y = 4
X: n korvaaminen 5 - 2y:
3 (5 - 2 v) - 5 v = 4
Nyt kun yhtälöllä on vain yksi tuntematon, se on mahdollista ratkaista löytääkseen y: n arvo.
Tietäen y: n arvon, löydämme x: n arvon korvaamalla y: n arvon yhtälössä I.
I → x = 5 - 2v
x = 5 - 2 · 1
x = 5 - 2
x = 3
Joten järjestelmän ratkaisu on S = {3,1}.
Vertailumenetelmä
Vertailumenetelmä koostuu eristää tuntematon kahdesta yhtälöstä ja tasata nämä arvot.
Esimerkki:
1. vaihe: olkoon minä ensimmäinen yhtälö ja II toinen, eristetään yksi tuntemattomista I: ssä ja II: ssa. Valitsemalla eristää tuntematon x, meidän on:
2. vaihe: yhtälö kaksi uutta yhtälöä, koska x = x.
3. vaihe: korvaa y: n arvo -2: lla yhdessä yhtälössä.
x = -4 - 3v
x = -4-3 (-2)
x = -4 + 6
x = 2
Joten tämän järjestelmän ratkaisu on joukko S = {2, -2}.
Katso myös: Mitä eroja funktion ja yhtälön välillä on?
lisäysmenetelmä
Lisäysmenetelmä koostuu yhden yhtälön kaikkien ehtojen kertomisen suorittamisesta siten, että kun lisäämällä yhtälö I yhtälöön II, yksi sen tuntemattomista on yhtä suuri kuin nolla.
Esimerkki:
1. vaihe: kerro yksi yhtälöistä niin, että kertoimet ovat vastakkaiset.
Huomaa, että jos kerrotaan yhtälö II 2: lla, yhtälössä II on 4y ja yhtälössä I -4y ja että lisäämme I + II, saamme 0y, joten kerrotaan kaikki yhtälön II termit kahdella siten, että tämä tapahtua.
I → 5x - 4y = -5
2 · II → 2x + 4y = 26
2. vaihe: suorittaa summa I + 2 · II.
3. vaihe: korvaa arvo x = 3 johonkin yhtälöistä.
Lineaariset järjestelmät, joissa on kolme 1. asteen yhtälöä ja kolme tuntematonta
Kun järjestelmässä on kolme tuntematonta, käytämme muita ratkaisumenetelmiä. Kaikki nämä menetelmät liittyvät kertoimet matriiseihin, ja eniten käytetyt menetelmät ovat Crammerin sääntö tai skaalaus. Molempien menetelmien resoluutioksi on välttämätöntä järjestelmän matriisiesitys, jopa 2x2-järjestelmä voidaan esittää matriisin avulla. Esityksiä on kaksi, täydellinen matriisi ja epätäydellinen matriisi:
Esimerkki:
Systeemi
Voidaan edustaa koko matriisi
Ja varten epätäydellinen matriisi
Crammerin sääntö
Voit etsiä ratkaisuja 3x3-järjestelmälle, tuntemattomilla x, y ja z, käyttämällä Crammerin sääntö, on tarpeen laskea epätäydellisen matriisin determinantti ja sen vaihtelut. Joten meidän on:
D → järjestelmän epätäydellisen matriisin determinantti.
D.x → järjestelmän epätäydellisen matriisin determinantti, korvaamalla x-sarake itsenäisten termien sarakkeella.
D.y → järjestelmän epätäydellisen matriisin determinantti, korvaamalla y-sarakkeen riippumattomien termien sarakkeella.
D.z → järjestelmän epätäydellisen matriisin determinantti, korvaten z: n sarake itsenäisten termien sarakkeella.
Joten, jotta löydämme tuntemattomien arvon, meidän on ensin laskettava määräävä tekijä D, Dx, Dy liittyvät järjestelmään.
Esimerkki:
1. vaihe: laske D.
2. vaihe: laske Dx.
3. vaihe: niin voimme löytää x: n arvon, koska:
4. vaihe: laske Dy.
5. vaihe: sitten voimme laskea y: n arvon:
6. vaihe: Nyt kun tiedämme x: n ja y: n arvon, voimme löytää kummastakin rivistä z: n arvon korvaamalla x: n ja y: n arvon ja eristämällä z: n. Toinen vaihtoehto on laskea Dz.
Korvataan x = 0 ja y = 2 ensimmäisessä yhtälössä:
2x + y - z = 3
2 · 0 + 2 - z = 3
0 + 2 - z = 3
-z = 3 - 2
-z = -1 (-1)
z = -1
Siksi järjestelmäratkaisu on tarjous (0,2, -1).
Pääsy myös: Ongelmanratkaisu yhtälöjärjestelmillä
skaalaus
Toinen menetelmä lineaaristen järjestelmien ratkaisemiseksi on skaalaus, jossa käytämme vain koko matriisia ja operaatioita rivien välillä niiden tuntemattomien eristämiseksi. Skaalataan alla olevaa järjestelmää.
1. vaihe: kirjoita koko matriisi, joka edustaa järjestelmää.
olla L1, L2 ja minä3 vastaavasti matriisin viivat 1, 2 ja 3, suoritamme operaatiot L: n välillä1 ja minä2 ja minä1 ja minä3, niin että tulos tekee toisen ja kolmannen rivin ensimmäisessä sarakkeessa olevista ehdoista nollan.
Analysoimalla matriisin toista riviä, korvataan se tuloksella L2 → -2 · L1 + L2, jotta nolla a21.
21 = -2 · 1 + 2 = 0
22 = -2 · 2 + 1 = -3
23 = -2 · (-3) + 1 = 7
24 =-2 · 10 + 3 = -17
Joten L2 on 0-3 7-17.
Analysoimalla matriisin kolmas rivi, korvataan se tuloksella L3 → 3L1 + L2, termin palauttamiseksi31.
31 = 3 · 1 – 3 = 0
32 = 3 · 2 + 2 = 8
33 = 3 · (-3) +1 = -8
34 = 3 · 10 – 6 = 24
Joten L3 on 0-8-8 24.
Huomaa, että kaikki ovat jaettavissa 8: lla, joten L-viiva3 tee se yksinkertaisemmaksi, jaetaan se kahdeksalla.
L3 → L3 : 8 on: 0 1-1 3.
Joten skaalatun yhtälön uusi matriisi on:
Nyt tavoitteena on nollata sarake y kolmannella rivillä, suoritamme operaatioita L: n välillä2 ja minä3, jonka tarkoituksena on nollata toisen sarake.
Korvataan L3 luvulla L3 → L2 + 3L3.
31 = 0 + 3 · 0 = 0
32 = -3 + 3 · 1 = 0
33 = 7 + 3 · (-1) = 4
34 = -17 + 3 · 3 = -8
Joten L3 on: 0 0 4 -8.
Uusi skaalattu matriisi on:
Nyt kun edustamme tätä matriisia taas järjestelmänä, lisäämällä sarakkeisiin x, y ja z, löydämme seuraavan:
Voimme sitten löytää jokaisen tuntemattoman arvon. Analysoimalla yhtälöä III meidän on:
Jos z = -2, korvataan z: n arvo toiseen yhtälöön:
Lopuksi korvataan ensimmäisessä yhtälössä y: n ja z: n arvo x: n arvon löytämiseksi.
Katso myös: 1. asteen eriarvoisuusjärjestelmä - miten se ratkaistaan?
lineaarinen järjestelmäluokitus
Lineaarinen järjestelmä on lineaaristen yhtälöiden joukko, jolla voi olla useita tuntemattomia ja useita yhtälöitä. On useita tapoja ratkaista se yhtälöiden lukumäärästä riippumatta. on kolme luokitukset lineaariselle järjestelmälle.
- Määritetty mahdollinen järjestelmä (SPD): kun sinulla on yksi ratkaisu.
- Määrittelemätön mahdollinen järjestelmä (SPI): kun sillä on loputtomia ratkaisuja.
- mahdoton järjestelmä(SI): kun ratkaisua ei ole.
ratkaistut harjoitukset
Kysymys 1 (IFG 2019) Tarkastellaan pohjan mittausten ja korkeuden suhteessa kolmion pohjaan 168 cm ja eron 24 cm. On oikein todeta, että pohjan mitat ja korkeus suhteessa tähän pohjamittaan:
a) 72 cm ja 96 cm
b) 144 cm ja 24 cm
c) 96 cm ja 72 cm
d) 24 cm ja 144 cm
Resoluutio
Vaihtoehto C.
Olkoon h → korkeus ja b → pohja, sitten meillä on seuraava järjestelmä:
Lisäysmenetelmällä meidän on:
H: n arvon löytämiseksi korvataan b = 96 cm ensimmäiseen yhtälöön:
b + h = 168
96 + h = 168
h = 168-96
h = 72 cm
kysymys 2 Seuraavaa lineaarista järjestelmää edustava epätäydellinen matriisi on:
Resoluutio
Vaihtoehto C.
Puutteellinen matriisi on sellainen, jolla on kertoimet x, y ja z, joten se on 3x3 matriisi. Analysoimalla vaihtoehtoja, se, joka sisältää 3x3-matriisin oikeilla merkeillä, on C-kirjain.
Kirjailija: Raul Rodrigues de Oliveira
Matematiikan opettaja
