Harjutage kolmnurkade harjutusi selle loendiga, mille oleme koostanud. Harjutusi selgitatakse samm-sammult, et saaksite oma kahtlused hajutada ja selle kolmetahulise hulknurga kohta kõike õppida.
küsimus 1
Analüüsige järgmist kolmnurkadest moodustatud joonist ja määrake AB-ga paralleelse lõigu ED mõõt, teades, et:
CD = 15
AD = 1
AB = 8
Kuna DE on paralleelne AB-ga, on kolmnurgad CDE ja CAB sarnased. Seega saame kirjutada nende vastavate külgede vahelised suhted
AC = AD + DC = 1 + 15 = 16.
küsimus 2
Määrake alloleval pildil nurga x väärtus kraadides.
Vastus: 110 kraadi
Välisnurga teoreemi kohaselt on tipu välisnurk võrdne kahe teise sisenurkade summaga.
x = 50 kraadi + 60 kraadi = 110 kraadi
Teine võimalus küsimuse lahendamiseks on lisada kolm sisenurka ja muuta need võrdseks 180º. Seega, kutsudes täiendava sisenurga x y, on selle väärtus
:
50 + 60 + y = 180
110 + y = 180
y = 180–110
y = 70º
Kui y on 70 kraadi, siis x on see, kui kaugele kulub 180-ni jõudmiseks.
x = 180 kraadi - 70 kraadi = 110 kraadi
küsimus 3
Määrake lõigu x pikkus.
Vastus: 2,4m
Joonis on moodustatud kahest sarnasest kolmnurgast. Neil kahel on täisnurgad ja võrdsed nurgad, mis on nendevahelise ühise tipu vastas. AA (nurk-nurk) sarnasuse puhul kinnitame sarnasust.
Võttes nende vastavate külgede suhte, saame:
küsimus 4
Alloleval joonisel on ristkülik, mille alus on 8 cm ja kõrgus 1 cm ja mis on kirjutatud kolmnurga kujul. Ristküliku alus langeb kokku kolmnurga põhjaga. Määrake kõrguse h mõõt.
Vastus: h = 2 cm
Saame määrata kaks sarnast kolmnurka: ühe põhjaga 12 cm ja kõrgusega x cm ning teise alusega 8 cm (ristküliku põhi) ja kõrgusega h.
Vastavate külgede proportsioonides saame:
Vaata, et x on võrdne kõrgusega h pluss ristküliku kõrgus.
x = h + 1
Asendamine:
küsimus 5
Fernando on puusepp ja eraldab kolmnurksete konstruktsioonide ehitamiseks erineva pikkusega puitliiste.
Järgmiste liistude kolmikute valikute hulgas on ainus, mis suudab kolmnurka moodustada
a) 3 cm, 7 cm, 11 cm
b) 6 cm, 4 cm, 12 cm
c) 3 cm, 4 cm, 5 cm
d) 7 cm, 9 cm, 18 cm
e) 2 cm, 6 cm, 9 cm
Kolmnurga olemasolu tingimus ütleb, et selle iga külg peab olema väiksem kui ülejäänud kahe summa.
Ainus võimalus, mis sellele tingimusele vastab, on täht c.
küsimus 6
Allolevas kolmnurgas on jooned ja segmendid: roheline, punane, sinine ja must: vastavalt:
Vastus:
Roheline: poolitaja. See on joon, mis lõikab lõigu keskpunktis 90° nurga all.
Punane: keskmine. See on segment, mis kulgeb tipust vastaskülje keskpunktini.
Sinine: poolitaja. Jagab nurga kaheks ühtseks nurgaks.
Must: kõrgus. See on segment, mis jätab tipu ja läheb vastasküljele, moodustades 90º nurga.
küsimus 7
(ENCCEJA 2012)Ristkülikukujuline lapitekk on valmistatud neljast kolmnurksest kangatükist, nagu on näidatud joonisel.
Võtke arvesse, et õmblused piki selle teki diagonaale on täiesti sirged.
Kolmnurga kujulise tekitüki A saab klassifitseerida vastavalt selle sisenurkade ja külgede järgi järgmiselt.
a) äge ja võrdkülgne.
b) nüri ja skaleen.
c) nüri- ja võrdhaarsed.
d) ristkülik ja võrdhaarne.
Klapp A on nüri, kuna selle nüri nurk on suurem kui 90º.
Kuna tekk on ristkülik ja kolmnurkade vahed on moodustatud kahe diagonaaliga, on siseküljed võrdsed, kaks korda kaks.
Kuna klapil on kaks võrdset külge, on see võrdhaarne.
küsimus 8
Alloleval joonisel kujutatud kolmnurgas ABC on AD sisenurga poolitaja punktides A ja . Sisenurk punktis A on võrdne
a) 60º
b) 70º
c) 80º
d) 90º
Lõik AD on poolitaja ja jagab nurga A kaheks võrdseks nurgaks. Kuna kolmnurgal ADB on kaks võrdset külge AD ja BD, on see võrdhaarne ja aluse nurgad on võrdsed.
Seega on meil 60º nurk ja kolm teist võrdsed.
Nimetades x tundmatuks nurgaks, saame:
60 + x + x + x = 180
60 + 3x = 180
3x = 180–60
3x = 120
x = 120/3
x = 40
Kui x = 40 ja nurk punktis A on moodustatud 2x, siis:
A = 2x
A = 2,40 = 80 kraadi
küsimus 9
(Enem 2011) Paadi ja ranna kauguse määramiseks kasutas navigaator järgmist protseduuri: punktist A mõõtis ta vaatenurka, sihtides rannas kindlasse punkti P. Hoides paati samas suunas, liikus ta edasi punkti B, nii et rannast oli näha sama punkti P, kuid vaatenurga 2α all. Joonis illustreerib seda olukorda:
Oletame, et navigaator on mõõtnud nurga α = 30º ja punkti B jõudmisel kontrollinud, et paat on läbinud vahemaa AB = 2000 m. Nende andmete põhjal ja sama trajektoori säilitamisel on lühim vahemaa paadist fikseeritud punktini P
a) 1000 m.
b) 1 000√3 m.
c) 2 000√3/3 m.
d) 2000 m.
e) 2 000√3 m
Resolutsioon
Andmed
= 30º
= 2000 meetrit
1. samm: lisa 2.
kui nurk on 30 kraadi, 2
= 60º ja selle lisand, mis 180º jaoks puudub, on 120º.
180 - 60 = 120
2. samm: määrake kolmnurga sisenurgad ABP.
Kuna kolmnurga sisenurkade summa on 180°, siis nurk peab olema 30º, sest:
30 + 120 + P = 180
P = 180–120–30
P = 30
Seega on kolmnurk ABP võrdhaarne ning küljed AB ja BP on ühepikkused.
3. samm: määrake lühim vahemaa paadi ja punkti P vahel.
Väikseim vahemaa on risti segment punkti P ja punktiirjoone vahel, mis tähistab paadi teed.
Segment BP on täisnurkse kolmnurga hüpotenuus.
Siinus 60° seostab kaugust x ja hüpotenuusi BP.
Järeldus
Lühim vahemaa paadi ja punkti P vahel rannas on 1000 m.
küsimus 10
(UERJ – 2018)
Ma kogun selle päikesevalguse enda ümber,
Prismas hajutan ja koostan ümber:
Kuulujutt seitsmest värvist, valge vaikus.
JOSÉ SARAMAGO
Järgmisel pildil kujutab kolmnurk ABC tasapinnalist lõiget, mis on paralleelne sirge prisma põhjaga. Sirged n ja n' on vastavalt külgedega AC ja AB risti ning BÂC = 80°.
Nurka θ n ja n' vahel on:
a) 90º
b) 100 kraadi
c) 110º
d) 120º
Kolmnurgas, mille tipp A on 80º ja mille valguskiire moodustab alus, mis on paralleelne suurema alusega, saame määrata sisenurgad.
Kuna prisma on sirge ja kolmnurga valguspõhi, mille tipp on punktis A, on paralleelne suurema alusega, on need nurgad võrdsed. Kuna kolmnurga sisenurkade summa on 180°, on meil:
80 + x + x = 180
2x = 180–80
2x = 100
x = 100/2
x = 50
Lisades punktiirjoontega moodustatud 90º nurga, saame 140º.
Seega on väiksema allapoole suunatud kolmnurga sisenurgad:
180–140 = 40
Kasutades uuesti sisenurkade summat, saame:
40 + 40 + = 180
= 180 - 80
= 100º
Jätkake kolmnurkade õppimist:
- Kolmnurk: kõik selle hulknurga kohta
- Kolmnurkade klassifikatsioon
- Kolmnurga pindala: kuidas arvutada?
- Trigonomeetria täisnurkses kolmnurgas
ASTH, Rafael. Kolmnurkade harjutused on selgitatud.Kõik oluline, [n.d.]. Saadaval: https://www.todamateria.com.br/exercicios-sobre-triangulos-explicados/. Juurdepääs aadressil:
Vaata ka
- Kolmnurkade klassifikatsioon
- Kolmnurk: kõik selle hulknurga kohta
- Kolmnurga ala
- Harjutused nelinurkade kohta koos selgitatud vastustega
- Harjutused vastatud nurkade kohta
- Kolmnurkade sarnasus: kommenteeritud ja lahendatud harjutused
- Kolmnurga märkimisväärsed punktid: mis need on ja kuidas neid leida
- Kolmnurga olemasolu tingimus (koos näidetega)
