A puutuja (lühendatult tg või tan) on a trigonomeetriline funktsioon. Nurga puutuja määramiseks saame kasutada erinevaid strateegiaid: arvutada nurga siinuse ja koosinuse suhe, kui need on teada; kasutada puutujatabelit või kalkulaatorit; arvutada vastasjala ja külgneva jala suhe, kui kõnealune nurk on muuhulgas täisnurkse kolmnurga sisemine (äge).
Loe ka: Milleks kasutatakse trigonomeetrilist ringi?
kokkuvõte puutuja kohta
Tangens on trigonomeetriline funktsioon.
Täisnurkse kolmnurga sisenurga puutuja on vastaskülje ja külgneva külje suhe.
Mis tahes nurga puutuja on selle nurga siinuse ja koosinuse suhe.
Funktsioon \(f (x)=tg\ x\) on määratud nurkade jaoks x väljendatuna radiaanides, nii et cos \(cos\ x≠0\).
Puutujafunktsiooni graafik näitab väärtuste vertikaalseid asümptoote, kus \(x= \frac{π}2+kπ\), koos k terve, nagu \(x=-\frac{π}2\).
Puutujate seadus on avaldis, mis seob mis tahes kolmnurgas kahe nurga puutujad ja nende nurkade vastasküljed.
Nurga puutuja
Kui α on üks nurk sisemine a täisnurkne kolmnurk, α puutuja on vastasjala pikkuse ja külgneva jala pikkuse suhe:
Iga nurga α korral on puutuja patu α ja α koosinuse suhe, kus \(cos\ α≠0\):
\(tg\ α=\frac{sin\ α}{cos\ α}\)
Tuleb märkida, et kui α on nurk 1. või 3. kvadrandis, on puutujal positiivne märk; aga kui α on 2. või 4. kvadrandi nurk, on puutujal negatiivne märk. See seos tuleneb otseselt iga α siinuse ja koosinuse märkide vahelisest märgireeglist.
Tähtis: Pange tähele, et puutujat ei eksisteeri α kus väärtuste jaoks \(cos\ α=0\). See juhtub 90°, 270°, 450°, 630° ja nii edasi nurkade puhul. Nende nurkade üldiseks esitamiseks kasutame radiaani tähistust: \(\frac{ π}2+kπ\), koos k terve.
Märkimisväärsete nurkade puutuja
Kasutades väljendit \(tg\ α=\frac{sin\ α}{cos\ α}\), saame leida puutujad tähelepanuväärsed nurgad, mis on nurgad 30°, 45° ja 60°:
\(tg\ 30°=\frac{sin\ 30°}{cos\ 30°}=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt3}{2}}=\frac{1}{\sqrt3}=\frac{\sqrt3}{3}\)
\(tg\ 45°=\frac{sin\ 45°}{cos\ 45°} = \frac{\frac{\sqrt2}{2}}{\frac{\sqrt2}{2}}=1\)
\(tg\ 60°=\frac{sin\ 60°}{cos\ 60°}=\frac{\frac{\sqrt3}{2}}{\frac{1}2}=\sqrt3\)
Huvitav: Lisaks neile saame analüüsida puutuja väärtusi nurkade 0° ja 90° jaoks, mida samuti laialdaselt kasutatakse. Kuna sin 0° = 0, järeldame, et tan 0° = 0. 90° nurga puhul, kuna cos90° = 0, puutujat ei eksisteeri.
Kuidas arvutada puutujat?
Puutuja arvutamiseks kasutame valemit tg α=sin αcos α, mida kasutatakse mis tahes nurga puutuja arvutamiseks. Vaatame allpool mõnda näidet.
Näide 1
Leidke allolevast täisnurksest kolmnurgast nurga α puutuja.
Resolutsioon:
Mis puudutab nurka α, siis mõõdu 6 külg on vastaskülg ja mõõdu 8 külg külgnev külg. Nagu nii:
\(tg\ α=\frac{6}8=0,75\)
Näide 2
Teades seda \(sin\ 35°≈0,573\) ja cos\(35°≈0,819\), leidke 35° puutuja ligikaudne väärtus.
Resolutsioon:
Kuna nurga puutuja on selle nurga siinuse ja koosinuse suhe, on meil:
\(tg\ 35°=\frac{sin\ 35°}{cos\ 35°}= \frac{0,573}{0,819}\)
\(tg\ 35°≈0,700\)
puutuja funktsioon
Funktsioon fx=tg x on defineeritud nurkade jaoks x väljendatuna radiaanides, nii et \(cos\ x≠0\). See tähendab, et puutujafunktsiooni domeeni väljendatakse järgmiselt:
\(D(tg)=\{x∈ \mathbb{R}:x≠\frac{π}2+kπ, k∈ \mathbb{Z} \}\)
Lisaks kõik reaalarvud on puutujafunktsiooni kujutis.
→ Puutujafunktsiooni graafik
Pange tähele, et puutujafunktsiooni graafikul on väärtuste jaoks vertikaalsed asümptoodid, kus \(x= \frac{π}2+kπ\), koos k terve, nagu \(x=-\frac{π}2\). Nende väärtuste jaoks x, puutuja pole defineeritud (st puutujat pole olemas).
Vaata ka: Mis on domeen, vahemik ja pilt?
puutujate seadus
Puutujate seadus on a väljend, mis seob a kolmnurk mis tahes, kahe nurga puutujad ja nende nurkade vastasküljed. Näiteks vaatleme allpool oleva kolmnurga ABC nurki α ja β. Pange tähele, et külg CB = a on nurga α vastas ja külg AC = b on nurga β vastas.
Puutujate seadus ütleb, et:
\(\frac{a-b}{a+b}=\frac{tg\ [\frac{1}2(α-β)]}{tg\ [\frac{1}2 (α+β)]}\)
trigonomeetrilised suhted
Et trigonomeetrilised suhted on täisnurksel kolmnurgal töödeldud trigonomeetrilised funktsioonid. Me tõlgendame neid suhteid seda tüüpi kolmnurga külgede ja nurkade vaheliste suhetena.
Lahendas harjutusi puutuja kohta
küsimus 1
Olgu θ teise kvadrandi nurk nii, et patt\(sin\ θ≈0,978\), seega tgθ on ligikaudu:
A) -4688
B) 4688
C) 0,2086
D) -0,2086
E) 1
Resolutsioon
Alternatiiv A
kui \(sin\ θ≈0,978\), siis kasutades trigonomeetria põhiidentiteeti:
\(sin^2 θ+cos^2 θ=1\)
\(0,978^2+cos^2 θ=1\)
\(cos^2 θ=1-0,956484\)
\(cos\ θ=±\sqrt{0.043516}\)
Kuna θ on teise kvadrandi nurk, siis cosθ on negatiivne, seega:
\(cos\ θ≈- 0,2086\)
Varsti:
\(tg\ θ=\frac{sin\ θ}{cos\ θ}=\frac{0,978}{-0,2086}=-4,688\)
küsimus 2
Vaatleme täisnurkset kolmnurka ABC, mille jalad AB = 3 cm ja AC = 4 cm. Nurga B puutuja on:
A) \(\frac{3}4\)
B) \(\frac{3}5\)
W) \(\frac{4}3\)
D) \(\frac{4}5\)
JA) \(\frac{5}3\)
Resolutsioon:
Alternatiiv C
Väite järgi nurga vastas olev jalg \(\müts{B}\) on vahelduvvoolu mõõt 4 cm ja nurgaga külgnev jalg \(\müts{B}\) on AB mõõtmega 3 cm. Nagu nii:
\(tg\hat{C}=\frac{4}3\)
Maria Luiza Alves Rizzo
Matemaatika õpetaja
