Euleri seos on võrdus, mis seob kumerate hulktahukate tippude, servade ja tahkude arvu. See ütleb, et tahkude arv pluss tippude arv on võrdne servade arvuga pluss kaks.
Euleri seose annab:
kus,
F on nägude arv,
V tippude arv,
THE servade arv.
Me saame kasutada Euleri seost V, F või A tundmatute väärtuste määramiseks või kinnitamiseks, kui hulktahukas on kumer.
| Polüheder | F | V | THE | F+V | A + 2 |
|---|---|---|---|---|---|
| Kuubik | 6 | 8 | 12 | 6 + 8 = 14 | 12 + 2 = 14 |
| kolmnurkne püramiid | 4 | 4 | 6 | 4 + 4 = 8 | 6 + 2 = 8 |
| Viisnurkne alusprisma | 7 | 10 | 15 | 7 + 10 = 17 | 15 + 2 = 17 |
| tavaline oktaeeder | 8 | 6 | 12 | 8 + 6 = 14 | 12 + 2 = 14 |
Näide
Kumeral hulktahukal on 20 tahku ja 12 tippu. Määrake servade arv.
Kasutades Euleri seost ja eraldades A:
F ja V väärtuste asendamine:
Näod, tipud ja servad
Polüeedrid on kindlad, kolmemõõtmelised geomeetrilised kujundid ilma ümarate külgedeta. Need küljed on hulktahuka tahud (F).
Nägude kohtumist nimetame servadeks (A).
Tipud on punktid, kus kolm või enam serva kohtuvad.
kumer hulktahukas
Kumerad hulktahukad on geomeetrilised tahked kehad, millel ei ole nõgusust, seetõttu ei ole ühelgi nende pinnal sisenurgad, mis on suuremad kui 180º.
Selles hulktahukas on sinisega märgitud sisenurk suurem kui 180º, seega pole tegemist kumera hulktahukaga.
Vaata lähemalt hulktahukas.
Harjutused Euleri seose kohta
1. harjutus
Leidke 9 serva ja 6 tipuga hulktahuka tahkude arv.
Õige vastus: 5 nägu.
Kasutades Euleri seost:
F + V = A + 2
F = A + 2 - V
F = 9 + 2 - 6
F = 11-6
F = 5
2. harjutus
Dodekaeeder on 12 tahuga platooniline tahkis. Teades, et sellel on 20 tippu, määrake selle servade arv.
Õige vastus:
Kasutades Euleri seost:
F + V = A + 2
F + V - 2 = A
12 + 20 - 2 = A
32-2 = A
30 = A
3. harjutus
Kuidas nimetatakse 4 tipu ja 6 servaga hulktahukat tahkude arvu suhtes, kus tahud on kolmnurgad?
Vastus: Tetraeeder.
Peame määrama selle nägude arvu.
F + V = A + 2
F = A + 2 - V
F = 6 + 2 - 4
F = 8-4
F = 4
Polüeedrit, millel on 4 tahku kolmnurga kujul, nimetatakse tetraeedriks.
Kes oli Leonhard Paul Euler?
Leonhard Paul Euler (1707-1783) oli üks osavamaid matemaatikuid ja füüsikuid ajaloos ning andis oma panuse astronoomiauuringutesse. Saksa keelt kõnelev šveitslane, ta oli Peterburi Teaduste Akadeemia ja hiljem Berliini Akadeemia füüsikaprofessor. Ta on avaldanud mitmeid matemaatikaalaseid uurimusi.
Õppige ka:
- Geomeetrilised tahked ained
- Ruumigeomeetria
- Geomeetrilised kujundid
- Prisma – geomeetriline joonis
- Püramiid
- Tänavakivi
- Kuubik
