Joone võrrandi saab kindlaks määrata, joonistades selle ristkülikutasandile (x, y). Teades sirgele kuuluvate kahe erineva punkti koordinaate, saame määrata selle võrrandi.
Samuti on võimalik sirgjoone võrrand määratleda selle kalde ja sellele kuuluva punkti koordinaatide põhjal.
joone üldvõrrand
Kaks punkti määravad joone. Sel moel võime leida joone üldise võrrandi, joondades kaks punkti sirgel oleva üldise punktiga (x, y).
Olgu punktid A (xTheyyThe) ja B (xByyB), mis ei ole juhus ja kuulub Karteesia kavasse.
Kui nende punktidega seotud maatriksi determinant on võrdne nulliga, joondatakse kolm punkti. Seega peame arvutama järgmise maatriksi determinandi:
Determinandi väljatöötamisel leiame järgmise võrrandi:
(yThe -yB) x + (xB - xThe) y + xTheyB - xByThe = 0
Helistame:
a = (yThe -yB)
b = (xB - xThe)
c = xTheyB - xByThe
Sirgjoone üldvõrrand on määratletud järgmiselt:
ax + poolt + c = 0
Kus The, B ja ç on pidevad ja The ja B need ei saa olla üheaegselt tühised.
Näide
Leidke punktide A (-1, 8) ja B (-5, -1) läbiva joone üldvõrrand.
Kõigepealt peame kirjutama kolmepunktilise joondustingimuse, määratledes antud punktidega seotud maatriksi ja sirge juurde kuuluva üldise punkti P (x, y).
Määraja väljatöötamisel leiame:
(8 + 1) x + (1-5) y + 40 + 1 = 0
Punkte A (-1,8) ja B (-5, -1) läbiva joone üldvõrrand on järgmine:
9x - 4y + 41 = 0
Lisateabe saamiseks lugege ka järgmist:
- Peakorter
- määrav
- Laplace'i teoreem
Sirge vähendatud võrrand
Nurgakoefitsient
Leiame sirgvõrrandi r teades selle kalle (suunda), see tähendab nurga value väärtust, mida sirge näitab x-telje suhtes.
Selleks seostame numbri m, mida nimetatakse joone kalle nii, et:
m = tg θ
kalle m selle võib leida ka kahe sirgjoonesse kuuluva punkti teadmisega.
Kui m = tg θ, siis:
Näide
Määrake punktide A (1,4) ja B (2,3) läbiva joone r kalle.
Olemine,
x1 = 1 ja y1 = 4
x2 = 2 ja y2 = 3
Teades joone nurgakoefitsienti m ja punkt P0(x0yy0), mis kuulub selle juurde, saame selle võrrandi määratleda.
Selleks asendame kalle valemis teadaoleva punkti P.0 ja üldjoon P (x, y), mis samuti kuulub sirge:
Näide
Määrake sirge, mis läbib punkti A (2,4) ja mille kalle on 3, võrrand.
Liini võrrandi leidmiseks asendage lihtsalt antud väärtused:
y - 4 = 3 (x - 2)
y - 4 = 3x - 6
-3x + y + 2 = 0
lineaarne koefitsient
lineaarne koefitsient ei sirge r on määratletud punktina, kus sirge lõikub y-teljega, see tähendab koordinaatide punktiga P (0, n).
Seda punkti kasutades on meil:
y - n = m (x - 0)
y = mx + n (vähendatud sirgvõrrand).
Näide
Teades, et sirge r võrrandi annab y = x + 5, tuvastage selle kalle, kalle ja punkt, kus sirge lõikub y-teljega.
Kuna meil on sirge vähendatud võrrand, siis:
m = 1
Kus m = tg θ ⇒ tg θ = 1 ⇒ θ = 45º
Joone y-teljega lõikepunkt on punkt P (0, n), kus n = 5, siis on punkt P (0,5)
Loe ka Kallaku arvutamine
Joone lõigu võrrand
Kallakust saame arvutada punkti A (a, 0) abil, et sirge lõikub x-teljega ja punkt B (0, b), mis lõikub y-teljega:
Arvestades n = b ja asendades vähendatud kujul, on meil:
Jagades kõik liikmed ab-ga, leiame sirge segmentaarse võrrandi:
Näide
Kirjutage segmendina sirge võrrand, mis läbib punkti A (5.0) ja mille kalle on 2.
Kõigepealt leiame punkti B (0, b), asendades nõlva avaldises:
Kui võrrandis asendatakse väärtused, on meil sirge segmentvõrrand:
Loe ka:
- Karteesia plaan
- Kahe punkti vaheline kaugus
- kooniline
- sirge
- Paralleelsed jooned
- Risti jooned
- Ridade segment
- Lineaarne funktsioon
- Affine'i funktsioon
- Seotud funktsiooniharjutused
Lahendatud harjutused
1) Arvestades sirget, mille võrrand on 2x + 4y = 9, määrake selle kalle.
4y = - 2x + 9
y = - 2/4 x + 9/4
y = - 1/2 x + 9/4
Seetõttu m = - 1/2
2) Kirjutage vähendatud kujul sirge 3x + 9y - 36 = 0 võrrand.
y = -1/3 x + 4
3) VAENLIK - 2016
Teadusmessi jaoks ehitatakse õhku laskmiseks kahte raketimürsku - A ja B. Plaan on, et need käivitatakse koos, eesmärgiga, et mürsk B võtaks A kinni, kui see saavutab maksimaalse kõrguse. Selle juhtumiseks kirjeldab üks mürsk paraboolset trajektoori, teine aga väidetavalt sirget trajektoori. Graafik näitab nende mürskude saavutatud kõrgusi aja funktsioonina teostatud simulatsioonides.
Nende simulatsioonide põhjal täheldati, et mürsu B trajektoori tuleks muuta nii, et
eesmärk saavutati.
Eesmärgi saavutamiseks peab B trajektoori tähistava joone nurkkoefitsient olema
a) väheneb 2 ühiku võrra.
b) väheneb 4 ühiku võrra.
c) suurendada 2 ühiku võrra.
d) suurendada 4 ühiku võrra.
e) suurendada 8 ühiku võrra.
Kõigepealt peame leidma sirge B kalle algväärtuse.
Pidades meeles, et m = tg Ɵ, on meil:
m1 = 12/6 = 2
Trajektoori A maksimaalse kõrguse punkti läbimiseks peab joone B kalle olema järgmise väärtusega:
m2 = 16/4 = 4
Seega peab joone B kalle muutuma 2-lt 4-le, siis kasvab see 2 ühiku võrra.
Alternatiiv c: suurendage 2 ühikut
Vaadake ka: Harjutused analüütilisel geomeetrial
