Kosinuseadus: rakendus, näited ja harjutused

THE Kosinuse seadus kasutatakse mis tahes kolmnurga ühe külje või tundmatu nurga mõõtmiseks, teades selle muid mõõtmeid.

Avaldus ja valemid

Kosinuse teoreem ütleb, et:

"Igal kolmnurgal on ühe külje ruut ruudude summa kahel teisel küljel, millest on lahutatud nende kahe külje korrutis kaks korda nende vahelise nurga koosinus järgi.."

Seega on koosinusseaduse järgi kolmnurga külgede ja nurkade vahel järgmised suhted:

Näited

1. Kolmnurga kaks külge on 20–12 cm ja moodustavad nende vahel 120 ° nurga. Arvutage kolmanda külje mõõt.

Lahendus

Kolmanda külje mõõtmise arvutamiseks kasutame koosinus seadust. Selle jaoks kaalume järgmist:

b = 20 cm
c = 12 cm
cos α = cos 120º = - 0,5 (väärtus on trigonomeetrilistes tabelites).

Nende väärtuste asendamine valemis:

The² = 20² + 12² - 2. 20. 12. (- 0,5)
The² = 400 + 144 + 240
The² = 784
a = √784
a = 28 cm

Nii et kolmas külg mõõdab 28 cm.

2. Järgmise joonise järgi määrake külje AC ja tipuga A asuva nurga mõõt:

Kõigepealt määrame AC = b:

B² = 8² + 10² – 2. 8. 10. cos 50.
B² = 164 – 160. cos 50.
B² = 164 – 160. 0,64279
b ≈ 7,82

Nüüd määrame nurgamõõdu koosinuste seaduse järgi:

8² = 10² + 7,82² – 2. 10. 7,82. cos
64 = 161,1524 - 156,4 cos Â
cos = 0,62
 = 52º

Märge: Kosinusenurkade väärtuste leidmiseks kasutame Trigonomeetriline tabel. Selles on meil iga trigonomeetrilise funktsiooni (siinus, koosinus ja puutuja) nurkade väärtused vahemikus 1º kuni 90º.

Rakendus

Kosinusseadust saab rakendada mis tahes kolmnurga jaoks. Olgu see siis teravnurkne (sisenurgad alla 90 °), nürinurgad (sisenurgaga üle 90 °) või ristkülik (sisenurgaga 90 °).

Kolmnurkade kujutamine nende sisemise nurga all

Aga ristkülikukujulised kolmnurgad?

Rakendame koosinusseadust 90 ° nurga vastas olevale küljele, nagu allpool näidatud:

The² = b² + c² - 2. B. ç. cos 90º

Kui cos 90º = 0, saab ülaltoodud avaldis:

The² = b² + c²

Mis on sama mis väljend Pythagorase teoreem. Seega võime öelda, et see teoreem on kosinusseaduse konkreetne juhtum.

Kosinuseadus sobib probleemide lahendamiseks, kus tunneme kahte külge ja nende vahelist nurka ning soovime leida kolmanda külje.

Saame seda endiselt kasutada, kui teame kolmnurga kolme külge ja tahame teada selle ühte nurka.

Olukordades, kus tunneme kahte nurka ja ainult ühte külge ning tahame määrata teise külje, on mugavam kasutada pattude seadus.

Kosini ja siinuse määratlus

Nurga koosinus ja siinus on defineeritud järgmiselt trigonomeetrilised suhted täisnurgas. Parempoolse nurga (90º) vastas asuvat külge nimetatakse hüpotenuuseks ja ülejäänud kahte külge jalgadeks, nagu on näidatud alloleval joonisel:

Täisnurga kolmnurga ja selle külgede kujutis: puusad ja hüpotenuus

Kosiin on siis määratletud kui külgneva jala ja hüpotenuusi mõõtmise suhe:

Siinus on seevastu vastasjala ja hüpotenuusi mõõtmise suhe.

Sisseastumiseksami harjutused

1. (UFSCar) Kui kolmnurga küljed on mõõtmetega x, x + 1 ja x +2, siis kõigi puhul x reaalne ja suurem kui 1, on selle kolmnurga suurima sisemise nurga koosinus võrdne:

a) x / x + 1
b) x / x + 2
c) x + 1 / x + 2
d) x - 2 / 3x
e) x - 3 / 2x

Vt vastus

Alternatiiv e) x - 3 / 2x

2. (UFRS) Alloleval joonisel kujutatud kolmnurgas on AB ja AC mõõde sama ning kõrgus külje BC suhtes on võrdne 2/3 BC mõõtmest.

Nende andmete põhjal on nurga CÂ kosinus:

a) 7/25
b) 7/20
c) 4/5
d) 5/7
e) 5/6

Vt vastus

Alternatiiv a) 7/25

3. (UF-Juiz de Fora) Kolmnurga kaks külge mõõdavad 8 m ja 10 m ning moodustavad 60 ° nurga. Selle kolmnurga kolmas külg mõõdab:

a) 2√21 m
b) 2√31 m
c) 2√41 m
d) 2√51 m
e) 2√61 m

Vt vastus

Alternatiiv a) 2√21 m

Loe teemast lähemalt:

• Trigonomeetria
• Trigonomeetria ristküliku kolmnurgas
• Trigonomeetriaharjutused paremal kolmnurgal
• Trigonomeetrilised suhted
• Trigonomeetriline ring
• Trigonomeetrilised funktsioonid