Pythagorase teoreem: valem ja harjutused

O Pythagorase teoreem loetleb täisnurga kolmnurga külgede pikkuse. Selle geomeetrilise kujundi moodustab sisemine nurk 90 °, mida nimetatakse täisnurgaks.

Selle lause lause on:

"Teie jalgade ruutude summa vastab teie hüpotenuusi ruudule."

Pythagorase teoreemi valem

Pythagorase teoreemi väite kohaselt on valem esitatud järgmiselt:

The² = b² + c²

Olemine,

The: hüpotenuus
B: cateto
ç: cateto

THE hüpotenuus on täisnurkse kolmnurga pikim külg ja täisnurga vastas olev külg. Kaks ülejäänud külge on jalad. Nende kahe külje poolt moodustatud nurga suurus on 90º (täisnurk).

Samuti tuvastasime jalad vastavalt võrdlusnurgale. See tähendab, et külge võib nimetada külgnevaks või vastasküljeks.

Kui jalg on võrdlusnurga lähedal, nimetatakse seda a külgnevteiselt poolt, kui see on selle nurga vastu, siis seda nimetatakse vastupidine.

Allpool on toodud kolm näidet Pythagorase teoreemi rakendustest täisnurga kolmnurga meetriliste suhete korral.

Näide 1: arvutage hüpotenuusi mõõt

Kui täisnurksel kolmnurgal on jalgade mõõtmetena 3 cm ja 4 cm, siis mis on selle kolmnurga hüpotenuus?

Seetõttu on täisnurga kolmnurga küljed 3 cm, 4 cm ja 5 cm.

Näide 2: arvutage ühe jala mõõt

Määrake jala suurus, mis on täisnurga kolmnurga osa, mille hüpotenuus on 20 cm ja teine ​​jalg 16 cm.

Seetõttu on täisnurga kolmnurga külgede mõõtmed 12 cm, 16 cm ja 20 cm.

Näide 3: kontrollige, kas kolmnurk on ristkülik

Kolmnurga küljed on suurusega 5 cm, 12 cm ja 13 cm. Kuidas teada saada, kas see on täisnurkne kolmnurk?

Täisnurkse kolmnurga tõesuse tõestamiseks peavad selle külgede mõõtmed järgima Pythagorase teoreemi.

Kuna antud meetmed rahuldavad Pythagorase teoreemi, st hüpotenuusi ruut on võrdne jalgade ruudu summaga, siis võime öelda, et kolmnurk on ristkülik.

Loe ka: Metrilised suhted ristküliku kolmnurgas

Pythagorase kolmnurk

Kui mõõdab a külgi täisnurkne kolmnurk on positiivsed täisarvud, nimetatakse kolmnurka Pythagorase kolmnurgaks.

Sel juhul nimetatakse jalgu ja hüpotenuusi “Pythagorase ülikonnaks” või “Pythagorase trioks”. Selle kontrollimiseks, kas kolm arvu moodustavad Pythagorase kolmiku, kasutame seost² = b² + c².

Tuntuimat Pythagorase triot esindavad numbrid: 3, 4, 5. Hüpotenuus on võrdne 5-ga, suurem jalg võrdub 4-ga ja väiksem jalg võrdub 3-ga.

Pange tähele, et kolmnurga mõlemale küljele joonistatud ruutude pindala on seotud samamoodi nagu Pythagorase lause: pika külje ruudu pindala vastab kahe ülejäänud pindala summale ruut.

Huvitaval kombel moodustavad nende arvude kordsed ka Pythagorase ülikonna. Näiteks kui korrutada kolmik 3, 4 ja 5 kolmega, saame numbrid 9, 12 ja 15, mis moodustavad ka Pythagorase ülikonna.

Lisaks ülikondadele 3, 4 ja 5 on hulgaliselt muid ülikondi. Näitena võime mainida:

• 5, 12 ja 13
• 7, 24, 25
• 20, 21 ja 29
• 12, 35 ja 37

Loe ka: Trigonomeetria ristküliku kolmnurgas

Kes oli Pythagoras?

ajaloo järgi Samose Pythagoras (570 a. Ç. - 495 a. C.) oli Kreeka filosoof ja matemaatik, kes asutas Lõuna-Itaalias asuva Pythagorase kooli. Seda nimetatakse ka Pythagorase seltsiks, see hõlmas matemaatika, astronoomia ja muusikaõpinguid.

Ehkki täisnurga kolmnurga meetrilised suhted olid teada juba ammu enne Pythagorast elanud babüloonlastel, esimese tõendi selle kohta, et see teoreem rakendati mis tahes täisnurkset kolmnurka, arvatakse olevat teinud Pythagoras.

Pythagorase teoreem on matemaatikas üks tuntumaid, olulisemaid ja kasutatud teoreeme. See on oluline analüütilise geomeetria, tasapinna geomeetria, ruumigeomeetria ja trigonomeetria probleemide lahendamisel.

Lisaks teoreemile olid Pythagorase matemaatikaühingu muud olulised panused:

• Irratsionaalsete arvude avastamine;
• Täisarvude omadused;
• MMC ja MDC.

Loe ka: Matemaatika valemid

Tõestused Pythagorase teoreemi kohta

Pythagorase teoreemi tõestamiseks on mitu võimalust. Näiteks raamat Pythagorase ettepanek, mis ilmus 1927. aastal, esitas selle demonstreerimiseks 230 viisi ja teine ​​1940. aastal välja antud väljaanne kasvas 370 meeleavalduseni.

Vaadake allolevat videot ja vaadake Pythagorase teoreemi mõningaid demonstratsioone.

Kui palju on Pythagorase teoreemi tõestamiseks võimalusi? - Betty Fei

Kommenteeritud harjutused Pythagorase teoreemi kohta

küsimus 1

(PUC) Ristküliku kolmnurga kolme külje ruutude summa on 32. Kui pikk on kolmnurga hüpotenuus?

a) 3
b) 4
c) 5
d) 6

Vt vastus

Õige alternatiiv: b) 4.

Avalduses sisalduva teabe põhjal teame, et² + b² + c² = 32. Teiselt poolt peame Pythagorase teoreemi järgi² = b² + c² .

B väärtuse asendamine²+ c² poolt² esimeses avaldises leiame:

The² +² =32 ⇒ 2. The² = 32 ⇒ kuni² = 32/2 ⇒ kuni² = 16 ⇒ a = √ 16
a = 4

Lisaküsimuste saamiseks vaadake: Pythagorase teoreem - harjutused

2. küsimus

(Ja kas)

Ülaltoodud joonisel, mis kujutab 5 samakõrguse trepi kujundust, on käsipuu kogupikkus võrdne:

a) 1,9 m
b) 2,1 m
c) 2,0 m
d) 1,8 m
e) 2,2 m

Vt vastus

Õige alternatiiv: b) 2,1 m.

Käsipuu kogupikkus võrdub kahe 30 cm pikkuse lõigu summaga selle osaga, mille mõõtme me ei tea.

Jooniselt võime täheldada, et tundmatu lõik tähistab täisnurga kolmnurga hüpotenuusi, mille ühe jala mõõt on 90 cm.

Teise jala mõõtme leidmiseks peame lisama 5 sammu pikkuse. Seetõttu on meil b = 5. 24 = 120 cm.

Hüpotenuusi arvutamiseks rakendame sellele kolmnurgale Pythagorase teoreemi.

The² = 90² + 120² kuni² = 8100 + 14 400 ⇒ kuni² = 22 500 ⇒ a = √ 22 500 = 150 cm

Pange tähele, et hüpotenuusi arvutamiseks oleksime võinud kasutada Pythagorase ülikondade ideed, kuna jalad (90 ja 120) on 3, 4 ja 5 ülikonna kordsed (korrutades kõik terminid 30-ga).

Sel viisil on käsipuu kogumõõt:

30 + 30 + 150 = 210 cm = 2,1 m

Pange oma teadmised proovile Trigonomeetria harjutused

3. küsimus

(UERJ) Millôr Fernandes kirjutas matemaatikale kaunilt austusavaldusena luuletuse, millest võtame välja allpool oleva katkendi:

Nii paljudele matemaatikaraamatu lehtedele
armus Quotient ühel päeval metsikult
autor Tundmatu.
Ta vaatas teda oma loendamatu pilguga
ja ta nägi teda tipust põhja: veider kuju;
rombilised silmad, trapetsikujuline suu,
ristkülikukujuline keha, kerakujulised rinnad.
Tegi oma elu paralleelseks temaga,
kuni nad lõpmatuses kohtusid.
"Kes sa oled?" - küsis ta radikaalse ärevusega.
“Olen jalgade ruutude summa.
Kuid võite mind nimetada hüpotenuuseks.”

(Millôr Fernandes. Kolmkümmend aastat ennast.)

Incognita eksis, öeldes, kes see oli. Pythagorase teoreemi täitmiseks tuleks teha järgmine

a) „Olen ​​jalgade summa ruut. Aga kutsuge mind hüpotenuuse väljakuks. "
b) „Olen ​​jalgade summa. Kuid võite mind nimetada hüpotenuuseks. "
c) „Olen ​​jalgade summa ruut. Kuid võite mind nimetada hüpotenuuseks. "
d) „Olen ​​jalgade ruutude summa. Aga kutsuge mind hüpotenuuse väljakuks. "

Vt vastus

Alternatiiv d) „Olen ​​jalgade ruutude summa. Aga kutsuge mind hüpotenuuse väljakuks. "

Lisateave teema kohta:

• võrdhaarne kolmnurk
• Siinus, kosinus ja tangent
• Matemaatika vaenlas