Analüütiline geomeetria uurib geomeetrilisi elemente koordinaatsüsteemis tasapinnas või ruumis. Need geomeetrilised objektid määratakse nende asukoha ja asukoha järgi selle orientatsioonisüsteemi punktide ja telgede suhtes.
Alates iidsetest rahvastest, nagu egiptlased ja roomlased, on koordinaatide idee juba ajaloos ilmunud. Kuid see matemaatika valdkond süstematiseeriti 17. sajandil René Descartes'i ja Pierre de Fermat' töödega.
Descartes'i ortogonaalsüsteem
Ortogonaalne ristkoormussüsteem on koordinaatide asukoha määramise tugibaas. See koosneb tasapinnal kahest üksteisega risti asetsevast teljest.
- Selle süsteemi O(0,0) alguspunkt on nende telgede ristumiskoht.
- X-telg on abstsiss.
- Y-telg on ordinaat.
- Neli kvadranti on suunatud vastupäeva.
tellitud paar
Tasapinna mis tahes punktil on koordinaat P(x, y).
x on punkti P abstsiss ja moodustab kauguse selle ortogonaalprojektsioonist x-teljel lähtepunktini.
y on punkti P ordinaat ja kaugus selle ortogonaalprojektsioonist y-teljel alguspunktini.
kaugus kahe punkti vahel
Kahe Descartes'i tasapinna punkti vaheline kaugus on neid kahte punkti ühendava lõigu pikkus.
Kahe punkti vaheline kaugus valem ja
ükskõik milline.
Keskpunkti koordinaadid
Keskpunkt on punkt, mis jagab lõigu kaheks võrdseks osaks.
Olemine lõigu keskpunkt
, selle koordinaadid on abstsissi ja ordinaadi aritmeetilised keskmised.
ja
Kolmepunkti joondamise tingimus
Arvestades punkte: .
Need kolm punkti joondatakse, kui järgmise maatriksi determinant on võrdne nulliga.
Näide
Sirge nurgakoefitsient
kalle sirge on selle kalde puutuja
x-telje suhtes.
Kalde saamiseks kahest punktist:
Kui m > 0, on joon tõusev, vastasel juhul, kui m < 0, on joon kahanev.
sirge üldvõrrand
Kus ,B ja ç on konstantsed reaalarvud ja The ja B need ei ole samaaegselt nullid.
Näide
Joone võrrand, mis teab punkti ja kallet
antud punkt ja kalle
.
Sirge võrrand on järgmine:
Näide
Sirgevõrrandi taandatud vorm
Kus:
m on kalle;
n on lineaarkoefitsient.
ei on järjestatud kohas, kus joon lõikub y-teljega.
Näide
Vaata Joone võrrand.
Suhteline asend kahe paralleelse sirge vahel tasapinnal
Kaks erinevat joont on paralleelsed, kui nende kalded on võrdsed.
kui sirge r on kalle , ja sirge s on kalle
, on need paralleelsed, kui:
Selleks peavad teie kalded olema võrdsed.
Puutujad on võrdsed, kui nurgad on võrdsed.
Suhteline asend kahe konkureeriva sirge vahel tasapinnal
Kaks joont on samaaegsed, kui nende kalded on erinevad.
Kalded omakorda erinevad, kui nende kaldenurgad x-telje suhtes on erinevad.
risti asetsevad jooned
Kaks jääki on risti, kui nende nõlvade korrutis on võrdne -1.
kaks sirget r ja s, eristatav, kallakutega ja
, on risti siis ja ainult siis, kui:
või
Teine võimalus teada saada, kas kaks sirget on risti, on nende võrrandid üldkujul.
Sirgede r ja s võrrandid on järgmised:
Kaks sellega risti olevat joont, kui:
Vaata Perpendikulaarsed jooned.
Ümbermõõt
Ümbermõõt on tasapinna koht, kus kõik punktid P(x, y) on ühel kaugusel r selle keskpunktist C(a, b), kus r on raadiuse mõõt.
Ümbermõõdu võrrand vähendatud kujul
Kus:
r on raadius, kaugus teie kaare mis tahes punkti ja keskpunkti vahel. Ç.
The ja B on keskuse koordinaadid Ç.
ringi üldvõrrand
See saadakse ümbermõõdu redutseeritud võrrandi ruudukujuliste liikmete arendamisel.
Väga sageli näidatakse harjutustes ümbermõõdu võrrandi üldist vormi, mida tuntakse ka normaalvormina.
kooniline
Sõna koonus pärineb koonusest ja viitab kõveratele, mis saadakse selle lõikamisel. Ellips, hüperbool ja parabool on kõverad, mida nimetatakse koonusteks.
Ellips
Ellips on suletud kõver, mis saadakse sirge ringkoonuse lõikamisel telje suhtes kaldu tasapinnaga, mis ei läbi tippu ega ole paralleelne selle generatriksiga.
Tasapinnal on kõigi punktide hulk, mille kauguste summa kahe sisemise fikseeritud punktini on konstantne.
Ellipsi elemendid:
- F1 ja F2 on ellipsi fookused;
- 2c on ellipsi fookuskaugus. See on kaugus F1 ja F2 vahel;
- Mõte O see on ellipsi keskpunkt. See on keskpunkt F1 ja F2 vahel;
- A1 ja A2 on ellipsi tipud;
- segment
peatelg ja võrdne 2a.
- segment
kõrvaltelg on võrdne 2b-ga.
- Ekstsentrilisus
kus 0 < ja < 1.
Redutseeritud ellipsi võrrand
Vaatleme ellipsis olevat punkti P(x, y), kus x on abstsiss ja y on selle punkti ordinaat.
Ellipsi keskpunkt koordinaatsüsteemi alguspunktis ja suurtelg (AA) x-teljel.
Ellipsi kese koordinaatsüsteemi alguspunktis ja suurtelg (AA) y-teljel.
Ellipsi taandatud võrrand koordinaattelgedega paralleelsete telgedega
punkti kaaludes kui Descartes'i süsteemi alguspunkt ja punkt
ellipsi keskpunktina.
AA suurtelg, paralleelne x-teljega.
AA suurtelg, paralleelne y-teljega.
Hüperbool
Hüperbool on punktide kogum tasapinnal, kus kahe fikseeritud punkti F1 ja F2 erinevus annab konstantse positiivse väärtuse.
Hüperbooli elemendid:
- F1 ja F2 on hüperbooli fookused.
- 2c =
on fookuskaugus.
- Hüperbooli keskpunkt on punkt O, F1F2 segmendi keskmine.
- A1 ja A2 on tipud.
- 2a = A1A2 on reaal- või risttelg.
- 2b = B1B2 on kujuteldav või konjugeeritud telg.
-
on ekstsentrilisus.
Läbi kolmnurga B1OA2
Hüperbooli redutseeritud võrrand
Tegeliku teljega x-telje ümber ja keskpunkti alguspunktis.
Reaaltelg y-teljel ja keskpunkt lähtepunktis.
Hüperboolvõrrand koordinaattelgedega paralleelsete telgedega
AA reaaltelg paralleelne x-telje ja keskpunktiga .
Reaaltelg AA paralleelne y-telje ja keskpunktiga .
Tähendamissõna
Parabool on koht, kus punktide hulk P(x, y) on sama kaugel fikseeritud punktist F ja sirgest d.
Tähendamissõna elemendid:
- F on tähendamissõna fookus;
- d on sirgjoon;
- Sümmeetriatelg on sirgjoon, mis kulgeb läbi fookuse F ja on juhtjoonega risti.
- V on parabooli tipp.
- p on sama pikkusega segment fookuse F ja tipu V e vahel, tipu ja direktiivi d vahel.
Parabooli taandatud võrrandid
Tipuga alguspunktis ja sümmeetriateljega y-teljel.
Kui p>0 nõgusus ülespoole.
Kui p<0 allapoole nõgusus.
Tipuga alguspunktis ja sümmeetriateljega x-teljel.
Kui p>0 nõgusus paremale.
Kui p<0 nõgusus vasakule.
Sümmeetriateljega paralleelne y-telje ja tipuga .
Sümmeetriateljega paralleelne x-telje ja tipuga .
harjutama koos Analüütilise geomeetria harjutused.
Lisateavet leiate aadressilt:
Descartes'i plaan
kaugus kahe punkti vahel
kooniline
Nurgakoefitsiendi arvutamine
