Keskkooli võrrand: kommenteeritud harjutused ja võistlusküsimused

Üks teise astme võrrand on kogu võrrand kujul kirves² + bx + c = 0, reaalarvude a, b ja c ning a ≠ 0. Seda tüüpi võrrandi lahendamiseks võite kasutada erinevaid meetodeid.

Kõigi kahtluste kõrvaldamiseks kasutage allpool toodud harjutuste kommenteeritud resolutsioone. Kontrollige kindlasti ka oma teadmisi lahendatud võistlusküsimustega.

Kommenteeritud harjutused

1. harjutus

Mu ema vanus, korrutatuna minu vanusega, on 525 aastat. Kui sündides oli mu ema 20-aastane, siis kui vana ma olen?

Lahendus

Arvestades minu vanust võrdseks x, siis võime arvestada, et minu ema vanus on võrdne x + 20. Kuidas me saame teada oma ajastu toote väärtuse, siis:

x. (x + 20) = 525

Korrutamise jaotusomaduste rakendamine:

x² + 20 x - 525 = 0

Seejärel jõuame täieliku 2. astme võrrandini, kus a = 1, b = 20 ja c = - 525.

Võrrandi juurte, st x väärtuste, kus võrrand võrdub nulliga, arvutamiseks kasutame Bhaskara valemit.

Esiteks peame arvutama ∆ väärtuse:

Juurte arvutamiseks kasutame:

Asendades väärtused ülaltoodud valemis, leiame võrrandi juured järgmiselt:

Kuna minu vanus ei saa olla negatiivne, siis põlgame väärtust -35. Nii et tulemus on 15 aastat.

2. harjutus

Alloleval joonisel kujutatud ruut on ristkülikukujuline ja selle pindala on 1 350 m². Teades, et selle laius vastab 3/2 kõrgusele, määrake ruudu mõõtmed.

Lahendus

Arvestades, et selle kõrgus on võrdne x, laius on siis võrdne 3 / 2x. Ristküliku pindala arvutatakse, korrutades selle aluse kõrguse väärtusega. Sel juhul on meil:

Jõuame mittetäieliku 2. astme võrrandini, kus a = 3/2, b = 0 ja c = - 1350, saame seda tüüpi võrrandeid arvutada, eraldades x ja arvutades ruutjuure väärtuse.

Kuna x väärtus tähistab kõrguse mõõtu, jätame arvestuse - 30 tähelepanuta. Seega on ristküliku kõrgus 30 m. Laiuse arvutamiseks korrutame selle väärtuse 3/2-ga:

Seetõttu on ruudu laius võrdne 45 m ja selle kõrgus on võrdne 30 m.

3. harjutus

Nii et x = 1 on võrrandi 2ax juur² + (2.² - a - 4) x - (2 + a²) = 0, peaksid a väärtused olema:

a) 3 ja 2
b) - 1 ja 1
c) 2 ja - 3
d) 0 ja 2
e) - 3 ja - 2

Lahendus

A väärtuse leidmiseks asendame kõigepealt x arvuga 1. Nii näeb võrrand välja järgmine:

2.a.1² + (2.² - kuni - 4). 1 - 2 - a² = 0
2. + 2² - kuni - 4 - 2 - kuni² = 0
The² + kuni - 6 = 0

Nüüd peame arvutama täieliku 2. astme võrrandi juure, selleks kasutame Bhaskara valemit.

Seetõttu on õige alternatiiv täht C.

Konkursi küsimused

1) Epcar - 2017

Vaatleme valemis ℝ võrrandit (m+2) x² - 2mx + (m - 1) = 0 muutuja x korral, kus m on reaalarv peale - 2.

Vaadake allolevad väited üle ja hinnake neid kui V (TRUE) või F (FALSE).

() Kõigi m> 2 korral on võrrandil seatud tühi lahendus.
() Võrduse juurte tunnistamiseks on võrrandil m kaks tegelikku väärtust.
() Kui võrrandis ∆> 0, siis saab m eeldada ainult positiivseid väärtusi.

Õige järjestus on

a) V - V - V
b) F - V - F
c) F - F - V
d) V - F - F

Vt vastus

Vaatame kõiki väiteid:

Kõigi m> 2 korral on võrrandil tühi lahendus

Kuna võrrand on teises astmes ℝ-s, pole sellel lahendit, kui delta on väiksem kui null. Selle väärtuse arvutamisel on meil:

Nii et esimene väide vastab tõele.

Võrduse juurte tunnistamiseks on võrrandil m kaks tegelikku väärtust.

Võrrandil on võrdsed tegelikud juured, kui Δ = 0, see tähendab:

- 4m + 8 = 0
m = 2

Seetõttu on väide vale, kuna m on ainult üks väärtus, kus juured on tõelised ja võrdsed.

Kui ation> 0, siis m saab võrrandis võtta ainult positiivseid väärtusi.

Kui Δ> 0, on meil:

Kuna lõpmatute reaalarvude kogumis on negatiivseid arve vähem kui 2, on ka väide vale.

Alternatiiv d: V-F-F

2) Coltec - UFMG - 2017

Laura peab lahendama „kodu” II astme võrrandi, kuid mõistab, et tahvlilt märkmikku kopeerides unustas ta koefitsiendi x kopeerida. Võrrandi lahendamiseks salvestas ta selle järgmiselt: 4x² + kirves + 9 = 0. Kuna ta teadis, et võrrandil on ainult üks lahendus ja see on positiivne, suutis ta määrata a väärtuse, mis on

a) - 13
b) - 12
c) 12
d) 13

Vt vastus

Kui 2. astme võrrandil on üks lahendus, on Bhaskara valemist tulenev delta võrdne nulliga. Nii et väärtuse leidmiseks The, arvutage lihtsalt delta, võrdsustades selle väärtuse nulliga.

Nii et kui a = 12 või a = - 12, on võrrandil ainult üks juur. Siiski peame ikkagi kontrollima, kumb väärtustest The tulemuseks on positiivne juur.

Selle jaoks leiame juur, väärtused The.

Nii et a = -12 korral on võrrandil ainult üks juur ja positiivne.

Alternatiiv b: -12

3) Vaenlane - 2016

Tunnel tuleb tihendada betoonkattega. Tunneli ristlõige ja betoonkate on paraboolkaare kontuurid ja samade mõõtmetega. Töö maksumuse kindlaksmääramiseks peab insener arvutama kõne all oleva paraboolkaare all oleva ala. Kasutades horisontaaltelge maapinnal ja parabooli sümmeetriatelge vertikaalteljena, sai ta parabooli jaoks järgmise võrrandi:
y = 9 - x², kus x ja y mõõdetakse meetrites.
On teada, et selline paraboolialune pind on 2/3 ristküliku pindalast, mille mõõtmed on vastavalt tunneli sissepääsu aluse ja kõrgusega.
Kui suur on betoonkatte esiosa pindala ruutmeetrites?

a) 18
b) 20
c) 36
d) 45
e) 54

Vt vastus

Selle probleemi lahendamiseks peame leidma tunneli sissepääsu aluse ja kõrguse mõõtmised, nagu probleem ütleb meile, et esikülje pindala on võrdne 2/3 ristküliku pindalaga nende mõõtmetega.

Need väärtused leitakse antud 2. astme võrrandist. Selle võrrandi paraboolil on nõgusus alla pööratud, kuna koefitsient The on negatiivne. Allpool on toodud selle tähendamissõna ülevaade.

Graafikult näeme, et tunneli aluse mõõt leitakse võrrandi juurte arvutamise teel. Juba selle kõrgus võrdub tipu mõõduga.

Juurte arvutamiseks jälgime, et võrrand 9 - x² on puudulik, seega võime leida selle juured, võrrandades võrrandi nulli ja eraldades x:

Seetõttu on tunneli aluse mõõt võrdne 6 m-ga, see tähendab kahe juure (-3 ja 3) vahekaugusega.

Graafikut vaadates näeme, et tipppunkt vastab y-telje väärtusele, et x on võrdne nulliga, nii et meil on:

Nüüd, kui tunneme tunneli aluse ja kõrguse mõõtmisi, saame arvutada selle ala:

Alternatiiv c: 36

4) Cefet - RJ - 2014

Millise a väärtuse korral on võrrandil (x - 2). (2ax - 3) + (x - 2). (- ax + 1) = 0 on kaks juurt ja võrdne?

kuni 1
b) 0
c) 1
d) 2

Vt vastus

Et teise astme võrrandil oleks kaks võrdset juurt, on vaja, et Δ = 0, see tähendab b²-4ac = 0. Enne delta arvutamist peame kirjutama võrrandi kirve kujul² + bx + c = 0.

Alustuseks võime rakendada jaotavat omadust. Kuid me märkime, et (x - 2) korratakse mõlemas mõistes, nii et paneme selle tõendiks:

(x - 2) (2ax -3 - kirves + 1) = 0
(x - 2) (kirves -2) = 0

Nüüd on toodet levitades:

kirves² - 2x - 2ax + 4 = 0

Arvutades Δ ja võrdudes nulliga, leiame:

Nii et kui a = 1, on võrrandil kaks võrdset juurt.

Alternatiiv c: 1

Lisateabe saamiseks vaadake ka:

• Teise astme võrrand
• Esimese astme võrrand
• Ruutfunktsioon
• Ruutfunktsioon - harjutused
• Lineaarne funktsioon
• Seotud funktsiooniharjutused