1. astme võrrandisüsteemid: kommenteeritud ja lahendatud harjutused

1. astme võrrandisüsteemid moodustavad võrrandite kogumi, mis esitavad rohkem kui ühte tundmatut.

Süsteemi lahendamine on kõigi neid võrrandeid samaaegselt rahuldavate väärtuste leidmine.

Paljud probleemid lahendatakse võrrandisüsteemide abil. Seetõttu on seda tüüpi arvutuste jaoks oluline teada lahendamismeetodeid.

Kasutage lahendatud harjutusi ära, et lahendada kõik selles küsimuses tekkinud kahtlused.

Kommenteeritud ja lahendatud probleemid

1) Meremehe õpipoisid - 2017

Numbri x ja kaks korda arvu y summa on - 7; ja selle numbri x ja y arvu kolmekordse erinevus on võrdne 7-ga. Seetõttu on õige öelda, et korrutis xy on võrdne järgmisega:

a) -15
b) -12
c) -10
d) -4
e) - 2

Vt vastus

Alustame võrrandite ülesehitamisest, arvestades probleemis pakutud olukorda. Seega on meil:

x + 2.y = - 7 ja 3.x - y = 7

X ja y väärtused peavad samaaegselt rahuldama mõlemat võrrandit. Seetõttu moodustavad need järgmise võrrandisüsteemi:

Selle süsteemi saame lahendada liitmismeetodi abil. Selleks korrutame teise võrrandi 2-ga:

Lisades kaks võrrandit:

Esimeses võrrandis leitud x väärtuse asendamiseks on meil:

1 + 2y = - 7
2y = - 7 - 1

Seega on korrutis xy võrdne järgmisega:

x.y = 1. (- 4) = - 4

Alternatiiv: d) - 4

2) Sõjakolledž / RJ - 2014

Rong sõidab ühest linnast teise alati ühtlase kiirusega. Kui sõit tehakse 16 km / h suurema kiirusega, väheneb kulutatud aeg kaks ja pool tundi ning kui see tehakse 5 km / h väiksema kiirusega, suureneb kulutatud aeg ühe tunni võrra. Kui suur on nende linnade vaheline kaugus?

a) 1200 km
b) 1000 km
c) 800 km
d) 1400 km
e) 600 km

Vt vastus

Kuna kiirus on konstantne, saame kasutada järgmist valemit:

Seejärel leitakse vahemaa, tehes järgmist:

d = v.t.

Esimese olukorra jaoks on meil:

v₁ = v + 16 ja t₁ = t - 2,5

Nende väärtuste asendamine kauguse valemis:

d = (v + 16). (t - 2,5)
d = vt - 2,5 v + 16t - 40

Võime võrrandis v.t asendada d-ga ja lihtsustada:

-2,5v + 16t = 40

Olukorras, kus kiirus väheneb:

v₂ = v - 5 ja t₂ = t + 1

Sama asendamine:

d = (v-5). (t + 1)
d = vt + v -5t -5
v - 5t = 5

Nende kahe võrrandi abil saame kokku panna järgmise süsteemi:

Lahendades süsteemi asendusmeetodil, eraldame v teises võrrandis:

v = 5 + 5t

Selle väärtuse asendamine esimeses võrrandis:

-2,5 (5 + 5t) + 16t = 40
-12,5 - 12,5t + 16t = 40
3,5t = 40 + 12,5
3,5t = 52,5

Kiiruse leidmiseks asendame selle väärtuse:

v = 5 + 5. 15
v = 5 + 75 = 80 km / h

Vahemaa leidmiseks korrutage lihtsalt leitud kiiruse ja aja väärtused. Seega:

d = 80. 15 = 1200 km

Alternatiiv: a) 1200 km

3) Meremehe õpipoisid - 2016

Üliõpilane maksis suupisteks 8 reaali 50 senti ja 1 reaali. Teades, et selle makse jaoks kasutas õpilane 12 münti, määrake vastavalt summad 50 senti ja üks päris münt, mida kasutati suupiste eest tasumiseks ja õige valiku märkimiseks.

a) 5 ja 7
b) 4 ja 8
c) 6 ja 6
d) 7 ja 5
e) 8 ja 4

Vt vastus

Arvestades x 50-sendiste müntide arvu, y 1-dollariste müntide arvu ja makstud summat, mis võrdub 8 reaaliga, võime kirjutada järgmise võrrandi:

0,5x + 1a = 8

Samuti teame, et maksmisel kasutati 12 münti, seega:

x + y = 12

Süsteemi kokkupanek ja lahendamine lisamise teel:

Esimese võrrandi leitud väärtuse x asendamine:

8 + y = 12
y = 12 - 8 = 4

Alternatiiv: e) 8 ja 4

4) Colégio Pedro II - 2014

Karbist, mis sisaldas B valget ja P musta palli, eemaldati 15 valget palli, ülejäänud pallide vahele jäi 1 valge ja 2 musta suhe. Seejärel eemaldati 10 mustanahalist, jättes kasti hulga palli vahekorras 4 valget ja 3 musta. B ja P väärtuste määramise võrrandisüsteemi saab esitada järgmiselt:

Vt vastus

Arvestades probleemi esimest olukorda, on meil järgmine osakaal:

Korrutades selle proportsiooni "ristis", on meil:

2 (B - 15) = P
2B - 30 = P
2B - P = 30

Teeme sama järgmise olukorra korral:

3 (B - 15) = 4 (P - 10)
3B - 45 = 4P - 40
3B - 4P = 45 - 40
3B - 4P = 5

Need võrrandid süsteemi kokku pannes leiame probleemile vastuse.

Alternatiiv: a)

5) Faetec - 2012

Carlos lahendas ühe nädalavahetusega 36 matemaatikaharjutust rohkem kui Nilton. Teades, et mõlema lahendatud harjutuste koguarv oli 90, on Carlose lahendatud harjutuste arv võrdne järgmisega:

a) 63
b) 54
c) 36
d) 27
e) 18

Vt vastus

Arvestades x-i kui Carlose lahendatud harjutuste arvu ja y-d kui Niltoni lahendatud harjutuste arvu, saame seadistada järgmise süsteemi:

Asendades x teises võrrandis y + 36, on meil:

y + 36 + y = 90
2y = 90-36

Selle väärtuse asendamine esimeses võrrandis:

x = 27 + 36
x = 63

Alternatiiv: a) 63

6) Enem / PPL - 2015

Lõbustuspargi märklaskmise telk annab osalejale auhinna 20 R $ iga kord, kui ta sihtmärki tabab. Seevastu iga kord, kui ta sihtmärgist mööda laseb, peab ta maksma 10,00 dollarit. Mängu mängimiseks pole esialgset tasu. Üks osaleja lasi 80 lasku ja sai lõpuks 100,00 R $. Mitu korda see osaleja sihtmärki tabas?

a) 30
b) 36
c) 50
d) 60
e) 64

Vt vastus

Kui x on sihtmärki tabanud laskude arv ja y valede võtete arv, on meil järgmine süsteem:

Selle süsteemi saame lahendada liitmismeetodi abil, korrutame kõik teise võrrandi tingimused 10-ga ja lisame kaks võrrandit:

Seetõttu lõi osaleja sihtmärki 30 korda.

Alternatiiv: a) 30

7) Vaenlane - 2000

Kindlustusselts kogus andmeid konkreetse linna autode kohta ja leidis, et aastas varastatakse keskmiselt 150 autot. Varastatud X kaubamärgiga autode arv on kahekordne varastatud Y marki autode arv ning X ja Y kaubamärgid moodustavad kokku umbes 60% varastatud autodest. Varastatud Y-marki autode eeldatav arv on:

a) 20
b) 30
c) 40
d) 50
e) 60

Vt vastus

Probleem näitab, et kaubamärkide x ja y varastatud autode arv kokku on 60% koguarvust, seega:

150.0,6 = 90

Seda väärtust arvesse võttes võime kirjutada järgmise süsteemi:

Asendades teises võrrandis x väärtuse, on meil:

2y + y = 90
3y = 90

Alternatiiv: b) 30

Vaadake ka: Harjutused tundmatu 1. astme võrrandil