Mõelge polünoomvõrrand allpool, kus kõik koefitsiendid Theeion täisarvud:
Theeixei +n-1xn-1 +n-2xn-2 +… +2x2 +1x + a0 = 0
O Ratsionaalse juure teoreem tagab, et kui see võrrand lubab ratsionaalse arvu P/mida juurena (koos P
, mida 
ja mdc (p, q) = 1) The0 on jagatav P ja Theei on jagatav mida.
Kommentaarid:
1º) Ratsionaalse juure teoreem ei taga, et polünoomvõrrandil oleks juured, kuid kui need on olemas, võimaldab see teoreem tuvastada kõik juured võrrandi;
2º) kui Theei= 1 ja muud koefitsiendid on kõik täisarvud, võrrandil on ainult täisarvu juured.
3°) kui q = 1 ja seal on ratsionaalseid juuri, need on tervikud ja jagajad The0.
Ratsionaalse juure teoreemi rakendamine:
Kasutame teoreemi polünoomvõrrandi kõigi juurte leidmiseks 2x4 + 5x3 - 11x2 - 20x + 12 = 0.
Kõigepealt tuvastame selle võrrandi võimalikud ratsionaalsed juured ehk vormi juured P/mida. Teoreemi järgi The0 on jagatav P; sel viisil, kuidas The0 = 12, siis väärtuse P on {± 1, ± 2, ± 3, ± 4, ± 6, ± 12}. Analoogiliselt peame ka Theei on jagatav
mida ja Theei = 2, siis mida võib olla järgmine väärtus: {± 1, ± 2}. Seetõttu jagades väärtused P per mida, saame võimalikud väärtused P/mida võrrandi juured: {+ ½, - ½, +1, - 1, +3/2, –3/2, +2, –2, +3, –3, +4, –4, +6, –6, +12, –12}.Kinnitamaks, et leitud väärtused on tõesti polünoomvõrrandi juur, asendame iga väärtuse väärtuse asemel x võrrandi. Läbi algebraline arvutus, kui polünoom annab tulemuseks null, nii et asendatud arv on tegelikult võrrandi juur.
2x4 + 5x3 - 11x2 - 20x + 12 = 0
Kui x = + ½
2.(½)4 + 5.(½)3 – 11.(½)2 – 20.(½) + 12 = 0
Kui x = - ½
2.(– ½)4 + 5.(– ½)3 – 11.(– ½)2 – 20.(– ½) + 12 = 75/4
Ärge lõpetage kohe... Peale reklaami on veel;)
Kui x = + 1
2.14 + 5.13 – 11.12 – 20.1 + 12 = – 12
Kui x = - 1
2.(– 1)4 + 5.(– 1)3 – 11.(– 1)2 – 20.(– 1) + 12 = 18
Kui x = + 3/2
2.(3/2)4 + 5.(3/2)3 – 11.(3/2)2 – 20.(3/2) + 12 = – 63/4
Kui x = - 3/2
2.(– 3/2)4 + 5.(– 3/2)3 – 11.(– 3/2)2 – 20.(– 3/2) + 12 = 21/2
Kui x = + 2
2.24 + 5.23 – 11.22 – 20.2 + 12 = 0
Kui x = - 2
2.(– 2)4 + 5.(– 2)3 – 11.(– 2)2 – 20.(– 2) + 12 = 0
Kui x = + 3
2.34 + 5.33 – 11.32 – 20.3 + 12 = 150
Kui x = - 3
2.(– 3)4 + 5.(– 3)3 – 11.(– 3)2 – 20.(– 3) + 12 = 0
Kui x = + 4
2.44 + 5.43 – 11.42 – 20.4 + 12 = 588
Kui x = - 4
2.(– 4)4 + 5.(– 4)3 – 11.(– 4)2 – 20.(– 4) + 12 = 108
Kui x = + 6
2.64 + 5.63 – 11.62 – 20.6 + 12 = 3168
Kui x = - 6
2.(– 6)4 + 5.(– 6)3 – 11.(– 6)2 – 20.(– 6) + 12 = 1248
Kui x = + 12
2.124 + 5.123 – 11.122 – 20.12 + 12 = 48300
Kui x = - 12
2.(– 12)4 + 5.(– 12)3 – 11.(– 12)2 – 20.(– 12) + 12 = 31500
Seetõttu polünoomvõrrandi juured 2x4 + 5x3 - 11x2 - 20x + 12 = 0 nemad on {– 3, – 2, ½, 2}. Läbi polünoomi lagunemise teoreem, võiksime selle võrrandi kirjutada järgmiselt (x + 3). (x + 2). (x - ½). (x - 2)= 0.
Autor Amanda Gonçalves
Lõpetanud matemaatika
Kas soovite sellele tekstile viidata koolis või akadeemilises töös? Vaata:
RIBEIRO, Amanda Gonçalves. "Ratsionaalse juure teoreem"; Brasiilia kool. Saadaval: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/teorema-das-raizes-racionais.htm. Juurdepääs 28. juunil 2021.
