Võrrand: mis see on, põhimõisted, tüübid, näited

Üks võrrand on matemaatiline lause, millel on võrdsus ja vähemalt üks tundmatu, see tähendab, kui meil on a algebraline väljend ja võrdsus. Võrrandite uurimine nõuab eelteadmisi, näiteks numbrilised väljendid. Võrrandi eesmärk on leidke tundmatu väärtus mis muudab võrdsuse identiteediks, see tähendab tõeliseks võrdsuseks.

Loe ka:Operatsioonid murdudega - kuidas arvutada?

Võrrandiuuringu põhimõisted

Võrrand on matemaatiline lause, millel on a teadmata, vähemalt, ja a võrdsus, ja saame selle järjestada tundmatute arvude järgi. Vaadake mõnda näidet:

a) 5t - 9 = 16

Võrrandil on tundmatu täht t.

b) 5x + 6y = 1

Võrrandil on kaks tundmatut, mida tähed tähistavad x ja y.

c) t4 - 8z = x

Võrrandil on kolm tundmatut, mida tähed tähistavad Okei,z ja x.

Ükskõik mis võrrand, peame arvestama teie universumi komplekt,koosneb kõigist võimalikest väärtustest, mille saame omistada tundmatule, tähistab seda komplekti täht U.

  • Näide 1

Vaatleme võrrandit x + 1 = 0 ja selle võimalikku lahendit x = –1. Mõelge nüüd, et võrrandi universumi komplekt on loomulik.

Pange tähele, et oletatav lahendus ei kuulu universumi hulka, kuna selle elemendid on kõik võimalikud väärtused, mida tundmatu võib võtta, seega pole x = –1 võrrandi lahendus.

Muidugi, mida suurem on tundmatute arv, seda keerulisem on teie lahendit kindlaks teha. THE lahendus või allikas võrrandi väärtus on kõigi nende väärtuste kogum, mis tundmatule omistades muudavad võrdsuse tõeseks.

  • Näide 2

Vaatleme võrrandit tundmatu 5x - 9 = 16-ga, veenduge, et x = 5 on võrrandi lahendus või juur.

Et oleks võimalik seda öelda x = 5 on võrrandi lahendus, peame selle väärtuse avaldises asendama, kui leiame tõelise võrdsuse, on arv testitud lahendus.

5x – 9 = 16

5(5) – 9 = 16

25 – 9 = 16

16 = 16

Vaadake, et leitud võrdsus on tõsi, nii et meil on identiteet ja lahendus on number 5. Seega võime öelda, et lahenduskomplekti annab:

S = {5}

  • Näide 3

Vaatleme võrrandit t2 = 4 ja kontrollige, kas t = 2 või t = –2 on võrrandi lahendid.

Analoogiliselt peaksime t-väärtuse asendama võrrandiga, kuid pange tähele, et meil on tundmatu jaoks kaks väärtust ja seetõttu peaksime kontrollima kahes etapis.

Samm 1 - t = 2 korral

t2= 4

22 = 4

4 = 4

2. samm - t = –2 korral

t2 = 4

(–2)2 = 4

4 = 4

Vaadake t = 2 ja t = - 2 leiame identiteedi, nii et need kaks väärtust on võrrandi lahendid. Seega võime öelda, et lahenduskomplekt on:

S = {2, –2}

Ärge lõpetage kohe... Pärast reklaami on veel rohkem;)

Võrranditüübid

Samuti võime klassifitseerida võrrandi positsiooni kohta, mille tundmatud hõivavad. Vaadake peamisi tüüpe:

  • Polünoomvõrrandid

Kell polünoomvõrrandid on iseloomustatud sellega, et polünoom on võrdne nulliga. Vaadake mõnda näidet:

) 6t3+ 5t25t = 0

Numbrid6, 5 ja –5 on võrrandi koefitsiendid.

B) 9x 9= 0

Numbrid 9 ja 9 on võrrandi koefitsiendid.

c) y2 y – 1 = 0

Numbrid 1, 1 ja – 1 on võrrandi koefitsiendid.

  • Võrrand kraadid

Polünoomvõrrandeid saab liigitada nende astme järgi. Nagu ka polünoomid, annab polünoomvõrrandi aste suurim võimsus, millel on nullist erinev koefitsient.

Eelmistest näidetest a, b ja c on võrrandite astmed järgmised:

a) 6t3 + 5t2 –5t = 0 → Polünoomvõrrand kolmas aste

b) 9x - 9 = 0 → Polünoomvõrrand esimene kraad

ç) y2 - y - 1 = 0 → Polünoomvõrrand Keskkool

Loe ka: ruutvõrrandu: kuidas arvutada, tüübid, näited

  • ratsionaalsed võrrandid

Ratsionaalvõrrandeid iseloomustab nende omamine tundmatud a nimetavas murdosa. Vaadake mõnda näidet:

Loe ka: Mis on ratsionaalsed arvud?

  • irratsionaalsed võrrandid

Kell irratsionaalsed võrrandid iseloomustab nende omamine tundmatud n-nda juure sees, see tähendab radikaali sees, mille indeks on n. Vaadake mõnda näidet:

  • eksponentsiaalsed võrrandid

Kell eksponentsiaalsed võrrandid on eksponendis asuvad tundmatud aasta potentsi. Vaadake mõnda näidet:

  • logaritmiline võrrand

Kell logaritmilised võrrandid iseloomustab omamine üks või mitu tundmatut logaritm. Näeme, et logaritmi definitsiooni rakendamisel langeb võrrand mõnel eelmisel juhul. Vaadake mõnda näidet:

Vaadake ka: Esimese astme võrrand tundmatuga

Kuidas võrrandit lahendada?

Võrrandi lahendamiseks peame uurima kasutatavad meetodid, see tähendab, et iga võrranditüübi jaoks on võimalike juurte määramiseks erinev meetod. Kuid kõik need meetodid on tuletatud samaväärsuse põhimõttest, sellega on võimalik lahendada peamised võrranditüübid.

  • Samaväärsuse põhimõte

Teine samaväärsuse põhimõte: me võime vabalt tegutseda võrdsuse ühel küljel, kui me teeme sama võrdsuse teisel poolel. Mõistmise parandamiseks nimetame need küljed.

Seetõttu ütleb ekvivalentsuse põhimõte, et see on võimalik opereerida esimest jäset vabalt, kuni sama operatsioon tehakse teise liikmega.

Samaväärsuse põhimõtte kontrollimiseks kaaluge järgmist võrdsust:

5 = 5

Läheme nüüd Lisama mõlemal pool number 7 ja pange tähele, et võrdsus on endiselt tõsi:

5 =5

5 + 7= 5 + 7

12 = 12

Läheme nüüd lahutama 10 võrdsuse mõlemal küljel, märkige uuesti, et võrdsus on endiselt tõsi:

12 = 12

12 – 10 = 12 – 10

2 = 2

vaata, et saame korrutada või jagama ja tõsta a-ni potentsi või isegi väljavõte a allikasseni, kuni seda tehakse esimesel ja teisel liikmel, kehtib võrdsus alati.

Võrrandi lahendamiseks peame seda põhimõtet kasutama koos mainitud toimingute tundmisega. Võrrandite väljatöötamise hõlbustamiseks jätame välja esimese liikmega tehtud toimingu, see on samaväärne ütlemisega, et edastame numbri teisele liikmele, vahetades märgi vastupidise vastu.

Idee võrrandi lahendi määramiseks on alati isoleerida tundmatu ekvivalentsuse põhimõtte abil, Vaata:

  • Näide 4

Samaväärsuspõhimõtte abil määrake võrrandi 2x - 4 = 8 lahendushulk, teades, et universumi hulk on antud: U = ℝ.

2x - 4 = 8

Esimese astme polünoomvõrrandi lahendamiseks peame tundmatu esimeses liikmes isoleerima. Selleks võtame esimeselt liikmelt numbri –4, lisades mõlemale poolele 4, kuna –4 + 4 = 0.

2x - 4 = 8

2x - 4+ 4 = 8+ 4

2x = 12

Pange tähele, et selle protsessi sooritamine on võrdne numbri 4 lihtsalt vastupidise märgiga läbimisega. Niisiis, tundmatu x eraldamiseks edastame numbri 2 teisele liikmele, kuna see korrutab x-i. (Pidage meeles: korrutamise pöördoperatsioon on jagamine). See oleks sama, kui jagada mõlemad pooled kahega.

Seetõttu annab lahenduskomplekti:

S = {6}

  • Näide 5

Lahendage võrrand 2x + 5 = 128, teades, et universumi hulga annab U = ℝ.

Eksponentvõrrandi lahendamiseks kasutame kõigepealt järgmist võimendav omadus:

Them + n =m · Aei

Kasutame ka fakti, et 22 = 4 ja 25 = 32.

2x + 5 = 128

2x · 25 = 128

2x · 32 = 128

Pange tähele, et mõlemad pooled on võimalik jagada 32-ga, see tähendab, et jagades jagage number 32 teisele liikmele.

Seega peame:

2x = 4

2x = 22

Ainus võrdsust rahuldav x väärtus on arv 2, seega x = 2 ja lahusekomplekti annab:

S = {2}

Võrrandid esinevad mitmes teaduse valdkonnas.
Võrrandid esinevad mitmes teaduse valdkonnas.

lahendatud harjutused

küsimus 1 - Vaatleme määratud universumit U = ℕ ja määrake järgmise irratsionaalse võrrandi lahendus:

Resolutsioon

Selle võrrandi lahendamiseks peame tegelema esimese liikme juure kõrvaldamisega. Pange tähele, et selleks peame esimese liikme tõstma juurega samasse indeksisse, see tähendab kuupi. Samaväärsuse põhimõtte järgi peame kasvatama ka teise võrdõiguslikkuse liikme.

Pange tähele, et nüüd peame lahendama teise astme polünoomvõrrandi. Andkem tundmatu x eraldamiseks teisele liikmele number (lahutades võrdsuse 11 mõlemalt poolt 11).

x2 = 27 – 11

x2 = 16

Nüüd x väärtuse määramiseks vaadake, kas on kaks võrdsust rahuldavat väärtust, x ’= 4 või x’ ’= –4, üks kord:

42 = 16

ja

(–4)2 = 16

Pange aga küsimuse avalduses tähele, et antud universumikomplekt on looduslike arvude hulk ja arv –4 ei kuulu sellesse, seega annab lahendikomplekti:

S = {4}

2. küsimus - Vaatleme polünoomvõrrandit x2 + 1 = 0, teades, et universumikomplekti annab U = ℝ.

Resolutsioon

Samaväärsuse põhimõtte jaoks lahutage mõlemast liikmest 1.

x2 + 1 1= 0 1

x2 = – 1

Pange tähele, et võrdsusel pole lahendust, kuna universumi komplekt on tegelikud arvud, see tähendab kõik väärtused, mida tundmatu võib oletada, on reaalsed ja pole reaalset arvu, mis ruudus olles oleks negatiivne.

12 = 1

ja

(–1)2 = 1

Seetõttu pole võrrandil reaalhulgal lahendust ja seega võime öelda, et lahendikomplekt on tühi.

S = {}


autor Robson Luiz
Matemaatikaõpetaja

(Enem 2009) 50-liikmeline rühm tegi peo korraldamiseks esialgse eelarve, mis jagati nende vahel võrdsetes osades. Lõpuks leiti, et kõigi kulude katmiseks oli puudu 510,00 R $ ja et grupiga oli liitunud 5 uut inimest. Asulas otsustati, et kogukulud jagatakse 55 inimesega võrdselt. Need, kes ei olnud veel panustanud, maksaksid oma osa ja iga 50 alggrupi inimesest pidi maksma täiendavalt 7,00 R $.

Kui suur oli selle teabe kohaselt lõplikus lepingus arvutatud kvoodi väärtus 55 inimese kohta?

(Vunesp - 2011) Pedrinho oli nelja-aastane, kui ema sünnitas kaksikud. Täna on kolme õe-venna vanuse summa 52 aastat vana. Pedrinho vanus on täna:

Kallaku arvutamine

Kallaku arvutamine

O kalle joone väärtus on väärtus, mis näitab joone kalle abstsissitelje (x-telje) suhtes.Kallakus...

read more
Harjutused mõistuse ja proportsioonide järgi

Harjutused mõistuse ja proportsioonide järgi

Matemaatikas arvutame kahe suuruse võrdlemiseks nende vastavate mõõtmiste jagatise. Seda jagatist...

read more
Harjutused kolmnurkade sarnasuse kohta

Harjutused kolmnurkade sarnasuse kohta

sarnased kolmnurgad need on kolmnurgad, millel on kolm vastavat nurka sama mõõduga ja küljed prop...

read more