La factorización es un proceso utilizado en matemáticas que consiste en representar un número o una expresión como producto de factores.
Al escribir un polinomio como la multiplicación de otros polinomios, a menudo podemos simplificar la expresión.
Consulte los tipos de factorización polinomial a continuación:
Factor común en la evidencia
Usamos este tipo de factorización cuando hay un factor que se repite en todos los términos del polinomio.
Este factor, que puede contener números y letras, se colocará delante del paréntesis.
Dentro del paréntesis estará el resultado de dividir cada término del polinomio por el factor común.
En la práctica, hagamos los siguientes pasos:
1º) Identificar si hay un número que divide todos los coeficientes del polinomio y letras que se repiten en todos los términos.
2º) Poner los factores comunes (número y letras) delante del paréntesis (en evidencia).
3º) Colocar entre paréntesis el resultado de dividir cada factor del polinomio por el factor que está en evidencia. En el caso de las letras, usamos la regla de división de potencias de la misma base.
Ejemplos de
a) ¿Cuál es la forma factorizada del polinomio 12x + 6y - 9z?
Primero, identificamos que el número 3 divide todos los coeficientes y que no hay letra que se repita.
Ponemos el número 3 delante del paréntesis, dividimos todos los términos entre tres y el resultado lo pondremos entre paréntesis:
12x + 6y - 9z = 3 (4x + 2y - 3z)
b) Factor 2a2b + 3a3c - a4.
Como no hay ningún número que divida 2, 3 y 1 al mismo tiempo, no pondremos ningún número delante del paréntesis.
La letra La se repite en todos los términos. El factor común será el La2, que es el exponente más pequeño de La en expresión.
Dividimos cada término del polinomio por La2:
2do2 b: el2 = 2do2 - 2 b = 2b
Tercero3c: el2 = 3er3 - 2 c = 3ac
La4: a2 = el2
Ponemos el La2 delante de paréntesis y los resultados de las divisiones entre paréntesis:
2do2b + 3a3c - a4 = el2 (2b + 3ac - a2)
agrupamiento
En el polinomio que no exista un factor que se repita en todos los términos, podemos utilizar la factorización por agrupación.
Para ello, debemos identificar términos que se puedan agrupar por factores comunes.
En este tipo de factorización, ponemos en evidencia los factores comunes de las agrupaciones.
Ejemplo
Factorizar el polinomio mx + 3nx + my + 3ny
Los términos mx y 3nx tiene como factor común la X. ya los terminos mi y 3ny tienen como factor común el y.
Poniendo estos factores en evidencia:
x (m + 3n) + y (m + 3n)
Tenga en cuenta que (m + 3n) ahora también se repite en ambos términos.
Poniéndolo en evidencia nuevamente, encontramos la forma factorizada del polinomio:
mx + 3nx + mi + 3ny = (m + 3n) (x + y)
Trinomio cuadrado perfecto
Los trinomios son polinomios con 3 términos.
Los trinomios cuadrados perfectos a2 + 2ab + b2 y el2 - 2ab + b2 resultado del notable producto del tipo (a + b)2 y (a - b)2.
Así, la factorización del trinomio cuadrado perfecto será:
La2 + 2ab + b2 = (a + b)2 (cuadrado de la suma de dos términos)
La2 - 2ab + b2 = (a - b)2 (cuadrado de la diferencia de dos términos)
Para saber si un trinomio es realmente un cuadrado perfecto, hacemos lo siguiente:
1º) Calcula la raíz cuadrada de los términos que aparecen al cuadrado.
2) Multiplica los valores encontrados por 2.
3º) Compara el valor encontrado con el término que no tiene cuadrados. Si son iguales, es un cuadrado perfecto.
Ejemplos de
a) Factoriza el polinomio x2 + 6x + 9
Primero, tenemos que probar si el polinomio es un cuadrado perfecto.
√x2 = x y √9 = 3
Multiplicando por 2, encontramos: 2. 3. x = 6x
Dado que el valor encontrado es igual al término que no es cuadrado, el polinomio es cuadrado perfecto.
Así, la factorización será:
X2 + 6x + 9 = (x + 3)2
b) Factoriza el polinomio x2 - 8xy + 9y2
Probando si es un trinomio cuadrado perfecto:
√x2 = x y √9y2 = 3 años
Haciendo la multiplicación: 2. X. 3y = 6xy
El valor encontrado no coincide con el término del polinomio (8xy ≠ 6xy).
Dado que no es un trinomio cuadrado perfecto, no podemos usar este tipo de factorización.
Diferencia de dos cuadrados
Factorizar polinomios de tipo a2 - B2 utilizamos el notable producto de suma y diferencia.
Así, la factorización de polinomios de este tipo será:
La2 - B2 = (a + b). (a - b)
Para factorizar, debemos calcular la raíz cuadrada de los dos términos.
Luego escribe el producto de la suma de los valores encontrados y la diferencia entre estos valores.
Ejemplo
Factoriza el binomio 9x2 - 25.
Primero, encuentra la raíz cuadrada de los términos:
√9x2 = 3x y √25 = 5
Escribe estos valores como producto de la suma y la diferencia:
9 veces2 - 25 = (3x + 5). (3x - 5)
cubo perfecto
los polinomios a3 + 3er2b + 3ab2 + b3 y el3 - 3º2b + 3ab2 - B3 resultado del notable producto del tipo (a + b)3 o (a - b)3.
Por tanto, la forma factorizada del cubo perfecto es:
La3 + 3er2b + 3ab2 + b3 = (a + b)3
La3 - 3º2b + 3ab2 - B3 = (a - b)3
Para factorizar tales polinomios, debemos calcular la raíz cúbica de los términos al cubo.
Posteriormente, es necesario confirmar que el polinomio es un cubo perfecto.
Si es así, reducimos al cubo la suma o resta de los valores de las raíces cúbicas encontradas.
Ejemplos de
a) Factoriza el polinomio x3 + 6x2 + 12x + 8
Primero, calculemos la raíz cúbica de los términos al cubo:
3√ x3 = x y 3√ 8 = 2
Luego confirma si es un cubo perfecto:
3. X2. 2 = 6x2
3. X. 22 = 12x
Dado que los términos encontrados son los mismos que los términos del polinomio, entonces es un cubo perfecto.
Así, la factorización será:
X3 + 6x2 + 12x + 8 = (x + 2)3
b) Factoriza el polinomio a3 - noveno2 + 27-27
Primero calculemos la raíz cúbica de los términos al cubo:
3a3 = ay 3√ - 27 = - 3
Luego confirma si es un cubo perfecto:
3. La2. (-3) = - noveno2
3. La. (- 3)2 = 27
Dado que los términos encontrados son los mismos que los términos del polinomio, entonces es un cubo perfecto.
Así, la factorización será:
La3 - noveno2 + 27a - 27 = (a - 3)3
Leer tambien:
- Potenciación
- Polinomios
- Función polinómica
- números primos
Ejercicios resueltos
Factoriza los siguientes polinomios:
a) 33x + 22y - 55z
b) 6nx - 6ny
c) 4x - 8c + mx - 2mc
d) 49 - el2
e) noveno2 + 12 ° + 4
a) 11. (3x + 2y - 5z)
b) 6n. (x - y)
c) (x - 2c). (4 + m)
d) (7 + a). (7 - a)
e) (3er + 2)2
Vea también:
- Expresiones algebraicas
- Ejercicios sobre expresiones algebraicas
- Productos notables
- Productos notables - Ejercicios
