Matriz transpuesta: definición, propiedades y ejercicios

La transposición de una matriz A es una matriz que tiene los mismos elementos que A, pero colocados en una posición diferente. Se obtiene transportando ordenadamente los elementos desde las líneas de A hasta las columnas de la transposición.

Por lo tanto, dada una matriz A = (a_ij)_mxn la transposición de A es A^t = (a ’_Ji) _{n x m}.

Ser,

i: posición de la línea
j: posición de la columna
La_ij: un elemento de la matriz en la posición ij
m: número de filas de la matriz
n: número de columnas en la matriz
LA^t: matriz transpuesta de A

Tenga en cuenta que la matriz A es de orden m x n, mientras que su transpuesta A^t es de orden n x m.

Ejemplo

Encuentre la matriz traspuesta de la matriz B.

Como la matriz dada es del tipo 3x2 (3 líneas y 2 columnas) su transposición será del tipo 2x3 (2 líneas y 3 columnas).
Para construir la matriz transpuesta, debemos escribir todas las columnas de B como filas de B^t. Como se indica en el diagrama siguiente:

Por tanto, la matriz transpuesta de B será:

vea también: Matrices

Propiedades de la matriz transpuesta

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(LA^t)^t= A: esta propiedad indica que la transpuesta de una matriz transpuesta es la matriz original.
(A + B)^t = A^t + B^t: la transpuesta de la suma de dos matrices es igual a la suma de la transpuesta de cada una de ellas.
(LA. B)^t = B^t. LA^t: la transpuesta de la multiplicación de dos matrices es igual al producto de las transposiciones de cada una de ellas, en orden inverso.
det (M) = det (M^t): el determinante de la matriz transpuesta es igual al determinante de la matriz original.

Matriz simétrica

Una matriz se llama simétrica cuando, para cualquier elemento de la matriz A, la igualdad a_ij = el_Ji es cierto.

Las matrices de este tipo son matrices cuadradas, es decir, el número de filas es igual al número de columnas.

Toda matriz simétrica satisface la siguiente relación:

A = A^t

Matriz opuesta

Es importante no confundir la matriz opuesta con la transpuesta. La matriz opuesta es aquella que contiene los mismos elementos en filas y columnas, sin embargo, con diferentes signos. Por tanto, el opuesto de B es –B.

Matriz inversa

LA matriz inversa (indicado por el número -1) es aquel en el que el producto de dos matrices es igual a una matriz de identidad cuadrada (I) del mismo orden.

Ejemplo:

LA. B = B. A = yo_No (cuando la matriz B es inversa a la matriz A)