Una ecuación es exponencial cuando la incógnita (valor desconocido) está en el exponente de una potencia. Así, una oración matemática que implica igualdad entre dos términos, donde la incógnita aparece en al menos un exponente, se llama ecuación exponencial.
Una potencia es el resultado del producto de su base por sí misma, tantas veces como lo determine el exponente.
En una ecuación exponencial determinamos cuántos factores se multiplican, es decir, cuántas veces se multiplica la base, para poder obtener un resultado determinado.
Definición de ecuación exponencial:
Dónde:
b es la base;
x es el exponente (desconocido);
a es el poder.
En que Es
.
Ejemplo de una ecuación exponencial:
La variable desconocida está en el exponente. Debemos determinar cuántas veces se multiplicará 2 para dar como resultado 8. Como 2. 2. 2 = 8, x = 3, ya que 2 debe multiplicarse tres veces para obtener 8 como resultado.
Cómo resolver ecuaciones exponenciales
Las ecuaciones exponenciales se pueden escribir de varias formas y para resolverlas usaremos potencias iguales con bases iguales, que también deben tener los mismos exponentes.
Como la función exponencial es inyectiva, tenemos:
Esto significa que dos potencias con la misma base serán iguales si y sólo si sus exponentes también son iguales.
Por tanto, una estrategia para resolver ecuaciones exponenciales es igualar las bases de los poderes. Una vez que las bases son iguales, podemos eliminarlas y comparar los exponentes.
Para igualar las bases de potencias en una ecuación exponencial, utilizamos herramientas matemáticas como la factorización y propiedades de potenciación.
Ejemplos de resolución de ecuaciones exponenciales.
Ejemplo 1
Es una ecuación exponencial, ya que la oración involucra una igualdad (ecuación) y la variable desconocida x está en el exponente (exponencial).
Para determinar el valor de la incógnita x, igualamos las bases de las potencias, usando la factorización de 64.
64 = 2. 2. 2. 2. 2. 2 o
Sustituyendo en la ecuación:
Despreciamos las bases, dejando solo igualdad entre los exponentes.
x = 6
Por tanto, x = 6 es el resultado de la ecuación.
Ejemplo 2
Igualamos las bases usando factorización.
- 9 = 3. 3 =
- 81 = 3. 3. 3. 3 =
Sustituyendo en la ecuación:
Usando la propiedad de la potencia de una potencia, multiplicamos los exponentes del lado izquierdo.
Con las bases iguales, podemos descartarlas e igualar los exponentes.
Por tanto, x = 1 es el resultado de la ecuación.
Ejemplo 3
Transformamos la base 0,75 en una fracción centesimal.
Simplificamos la fracción centesimal.
Factorizamos 9 y 16.
Igualando las bases, tenemos x = 2.
x = 2
Ejemplo 4
Transformamos la raíz en potencia.
Factorizamos las bases de potencia.
Multiplicando los exponentes igualamos las bases.
Por tanto, tenemos que:
Ejemplo 5
factorizar 25
Reescribimos la potencia de 5² a la x. Cambiando el orden de los exponentes.
Usamos una variable auxiliar, a la que llamaremos y.
(mantenga esta ecuación, la usaremos más adelante).
Sustituyendo en la ecuación anterior.
Resolviendo la ecuación cuadrática tenemos:
El conjunto solución para la ecuación cuadrática es {1, 5}; sin embargo, esta no es la solución para la ecuación exponencial. Debemos volver a la variable x, usando
Para y = 1:
Para y = 5:
El conjunto solución para la ecuación exponencial es S={0, 1}.
Obtenga más información sobre los poderes:
- Potenciación
- Potenciación: cómo calcular, ejemplos y ejercicios.
- Funcion exponencial
Para ejercicios:
- 17 ejercicios de entrenamiento de fuerza con plantilla comentada
- Ejercicios de función exponencial (resueltos y comentados)
ASTH, Rafael. Ecuación exponencial.Todo importa, [Dakota del Norte.]. Disponible: https://www.todamateria.com.br/equacao-exponencial/. Acceso en:
vea también
- 27 ejercicios de Matemáticas Básicas
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- Programación de Sistemas Lineales
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