La inecuación es una oración matemática que tiene al menos un valor desconocido (desconocido) y representa una desigualdad.
En las desigualdades usamos los símbolos:
- > mayor que
- ≥ mayor o igual
- ≤ menor o igual que
Ejemplos de
a) 3x - 5> 62
b) 10 + 2x ≤ 20
Desigualdad de primer grado
Una desigualdad es de primer grado cuando el mayor exponente de la incógnita es igual a 1. Pueden adoptar las siguientes formas:
- ax + b> 0
- hacha + b
- ax + b ≥ 0
- ax + b ≤ 0
Ser La y B números reales y La ≠ 0
Resolución de una desigualdad de primer grado.
Para resolver tal desigualdad, podemos hacerlo de la misma manera que lo hacemos en las ecuaciones.
Sin embargo, debemos tener cuidado cuando lo desconocido se vuelve negativo.
En este caso, debemos multiplicar por (-1) e invertir el símbolo de desigualdad.
Ejemplos de
a) Resuelve la desigualdad 3x + 19
Para resolver la desigualdad debemos aislar la x, pasando el 19 y el 3 al otro lado de la desigualdad.
Recordando que al cambiar de bando debemos cambiar la operación. Así, el 19 que sumaba pasará a disminuir y el 3 que estaba multiplicando pasará a dividir.
3xxx
b) ¿Cómo resolver la desigualdad 15 - 7x ≥ 2x - 30?
Cuando hay términos algebraicos (x) en ambos lados de la desigualdad, debemos unirlos en el mismo lado.
Al hacer esto, los números que cambian de lado cambian de signo.
15 - 7x ≥ 2x - 30
- 7x - 2x ≥ - 30-15
- 9 veces ≥ - 45
Ahora, multipliquemos toda la desigualdad por (-1). Para hacerlo, cambiamos el signo de todos los términos:
9x ≤ 45 (tenga en cuenta que invertimos el símbolo ≥ a ≤)
x ≤ 45/9
x ≤ 5
Por tanto, la solución a esta desigualdad es x ≤ 5.
Resolución usando el gráfico de desigualdad
Otra forma de resolver una desigualdad es graficarla en el plano cartesiano.
En el gráfico, estudiamos el signo de desigualdad identificando qué valores de X convertir la desigualdad en una oración verdadera.
Para resolver una desigualdad mediante este método debemos seguir los pasos:
1º) Coloca todos los términos de la desigualdad en el mismo lado.
2º) Reemplazar el signo de desigualdad por el de igualdad.
3º) Resuelve la ecuación, es decir, encuentra su raíz.
4o) Estudiar el signo de la ecuación, identificando los valores de X que representan la solución de la desigualdad.
Ejemplo
Resuelve la desigualdad 3x + 19
Primero, escribamos la desigualdad con todos los términos en un lado de la desigualdad:
3x + 19 - 40 3x - 21
Esta expresión indica que la solución de la desigualdad son los valores de x que hacen que la desigualdad sea negativa (
Hallar la raíz de la ecuación 3x - 21 = 0
x = 21/3
x = 7 (raíz de la ecuación)
Representar en el plano cartesiano los pares de puntos encontrados al sustituir valores en el X en la ecuación. La gráfica de este tipo de ecuación es una derecho.
Identificamos que los valores
Desigualdad de segundo grado
Una desigualdad es de segundo grado cuando el mayor exponente de la incógnita es igual a 2. Pueden adoptar las siguientes formas:
- hacha2 + bx + c> 0
- hacha2 + bx + c
- hacha2 + bx + c ≥ 0
- hacha2 + bx + c ≤ 0
Ser La, B y C números reales y La ≠ 0
Podemos resolver este tipo de desigualdad usando la gráfica que representa la ecuación de segundo grado para estudiar el signo, tal como hicimos para la desigualdad de primer grado.
Recordando que, en este caso, el gráfico será un parábola.
Ejemplo
Resolver desigualdad x2 - 4x - 4
Para resolver una desigualdad de segundo grado, es necesario encontrar valores cuya expresión en el lado izquierdo del signo
Primero, identifica los coeficientes:
a = 1
b = - 1
c = - 6
Usamos el fórmula de bhaskara (Δ = b2 - 4ac) y sustituimos los valores de los coeficientes:
Δ = (- 1)2 - 4. 1. (- 6)
Δ = 1 + 24
Δ = 25
Continuando con la fórmula de Bhaskara, reemplazamos nuevamente por los valores de nuestros coeficientes:
x = (1 ± √25) / 2
x = (1 ± 5) / 2
X1 = (1 + 5)/ 2
X1 = 6 / 2
X1 = 3
X2 = (1 - 5) / 2
X1 = - 4 / 2
X1 = - 2
Las raíces de la ecuación son -2 y 3. Como el Lade la ecuación de segundo grado es positiva, su gráfica tendrá la concavidad hacia arriba.
Del gráfico, observamos que los valores que satisfacen la desigualdad son: - 2
Podemos indicar la solución usando la siguiente notación:
Lea también:
- Ecuación de primer grado
- Ecuación de segundo grado
- Sistemas de ecuaciones
Ejercicios
1. (FUVEST 2008) Por recomendación médica, una persona debe, por un período corto, seguir una dieta que garantice un mínimo diario de 7 miligramos de vitamina A y 60 microgramos de vitamina D, alimentándose exclusivamente de un yogur especial y una mezcla de cereales, alojados en paquetes.
Cada litro de yogur aporta 1 miligramo de vitamina A y 20 microgramos de vitamina D. Cada paquete de cereal proporciona 3 miligramos de vitamina A y 15 microgramos de vitamina D.
Al consumir x litros de yogur e y paquetes de cereales al día, la persona estará segura de seguir la dieta si:
a) x + 3y ≥ 7 y 20x + 15y ≥ 60
b) x + 3y ≤ 7 y 20x + 15y ≤ 60
c) x + 20y ≥ 7 y 3x + 15y ≥ 60
d) x + 20y ≤ 7 y 3x + 15y ≤ 60
e) x + 15y ≥ 7 y 3x + 20y ≥ 60
Alternativa a: x + 3y ≥ 7 y 20x + 15y ≥ 60
2. (UFC 2002) Una ciudad es atendida por dos compañías telefónicas. La empresa X cobra una suscripción mensual de R $ 35,00 más R $ 0,50 por minuto utilizado. La empresa Y cobra, por mes, una suscripción de R $ 26,00 más R $ 0,50 por minuto utilizado. ¿Después de cuántos minutos de uso el plan de la empresa X será más beneficioso para los clientes que el plan de la empresa Y?
26 + 0,65 m> 35 + 0,5 m
0,65 m - 0,5 m> 35 - 26
0,15 m> 9
m> 9 / 0,15
m> 60
A partir de los 60 minutos, el plan X de la empresa es más ventajoso.
