Los polinomios son expresiones algebraicas formadas por números (coeficientes) y letras (partes literales). Las letras de un polinomio representan los valores desconocidos de la expresión.
Ejemplos de
a) 3ab + 5
b) x3 + 4xy - 2x2y3
c) 25 veces2 - 9 años2
Monomio, Binomio y Trinomio
Los polinomios se componen de términos. La única operación entre los elementos de un término es la multiplicación.
Cuando un polinomio tiene solo un término, se llama monomio.
Ejemplos de
a) 3 veces
b) 5bc
c) x2y3z4
las llamadas binomios son polinomios que tienen solo dos monomios (dos términos), separados por una operación de suma o resta.
Ejemplos de
a) a2 - B2
b) 3x + y
c) 5ab + 3cd2
ya el trinomios son polinomios que tienen tres monomios (tres términos), separados por operaciones de suma o resta.
Ejemplos
a) x2 + 3x + 7
b) 3ab - 4xy - 10 años
cm3n + m2 + n4
Grado de polinomios
El grado de un polinomio viene dado por los exponentes de la parte literal.
Para encontrar el grado de un polinomio debemos sumar los exponentes de las letras que componen cada término. La mayor suma será el grado del polinomio.
Ejemplos de
a) 2x3 + y
El exponente del primer término es 3 y el segundo término es 1. Dado que el mayor es 3, el grado del polinomio es 3.
b) 4x2y + 8x3y3 - xy4
Agreguemos los exponentes de cada término:
4x2y => 2 + 1 = 3
8x3y3 => 3 + 3 = 6
xy4 => 1 + 4 = 5
Dado que la suma más grande es 6, el grado del polinomio es 6
Nota: el polinomio nulo es aquel que tiene todos los coeficientes iguales a cero. Cuando esto ocurre, el grado del polinomio no está definido.
Operaciones con polinomios
Vea a continuación ejemplos de operaciones entre polinomios:
Agregar polinomios
Hacemos esta operación sumando los coeficientes de términos similares (misma parte literal).
(-7x3 + 5 veces2y - xy + 4y) + (-2x2y + 8xy - 7y)
- 7x3 + 5 veces2y - 2x2y - xy + 8xy + 4y - 7y
- 7x3 + 3 veces2años + 7xy - 3 años
Resta de polinomios
El signo menos delante del paréntesis invierte los signos dentro del paréntesis. Después de quitar los paréntesis, debemos agregar términos similares.
(4 veces2 - 5xk + 6k) - (3x - 8k)
4x2 - 5xk + 6k - 3xk + 8k
4x2 - 8xk + 14k
Multiplicación de polinomios
En la multiplicación debemos multiplicar término por término. En la multiplicación de letras iguales, los exponentes se repiten y se suman.
(3 veces2 - 5x + 8). (-2x + 1)
-6x3 + 3 veces2 + 10 veces2 - 5x - 16x + 8
-6x3 + 13x2 - 21x +8
División de polinomios
Nota: En la división de polinomios usamos el método clave. Primero realizamos la división entre los coeficientes numéricos y luego la división de potencias de la misma base. Para hacer esto, mantén la base y resta los exponentes.
Factorización de polinomios
Para llevar a cabo el factorización de polinomios tenemos los siguientes casos:
Factor común en la evidencia
ax + bx = x (a + b)
Ejemplo
4x + 20 = 4 (x + 5)
agrupamiento
ax + bx + ay + por = x. (a + b) + y. (a + b) = (x + y). (a + b)
Ejemplo
8ax + bx + 8ay + por = x (8a + b) + y (8a + b) = (8a + b). (x + y)
Trinomio cuadrado perfecto (suma)
La2 + 2ab + b2 = (a + b)2
Ejemplo
X2 + 6x + 9 = (x + 3)2
Trinomio cuadrado perfecto (diferencia)
La2 - 2ab + b2 = (a - b)2
Ejemplo
X2 - 2x + 1 = (x - 1)2
Diferencia de dos cuadrados
(a + b). (a - b) = a2 - B2
Ejemplo
X2 - 25 = (x + 5). (x - 5)
Cubo perfecto (adición)
La3 + 3er2b + 3ab2 + b3 = (a + b)3
Ejemplo
X3 + 6x2 + 12x + 8 = x3 + 3. X2. 2 + 3. X. 22 + 23 = (x + 2)3
Cubo perfecto (diferencia)
La3 - 3º2b + 3ab2 - B3 = (a - b)3
Ejemplo
y3 - 9 años2 + 27 años - 27 = años3 - 3. y2. 3 + 3. y. 32 - 33 = (y - 3)3
Lea también:
- Productos notables
- Productos notables - Ejercicios
- Función polinómica
Ejercicios resueltos
1) Clasifique los siguientes polinomios en monomios, binomios y trinomios:
a) 3abcd2
b) 3a + bc - d2
c) 3ab - cd2
a) monomio
b) trinomio
c) binomio
2) Indique el grado de polinomios:
a) xy3 + 8xy + x2y
b) 2x4 + 3
c) ab + 2b + a
d) zk7 - 10z2k3w6 + 2x
a) grado 4
b) grado 4
c) grado 2
d) grado 11
3) ¿Cuál es el valor del perímetro de la siguiente figura?
El perímetro de la figura se calcula sumando todos los lados.
2x3 + 4 + 2x3 + 4 + x3 + 1 + x3 + 1 + x3 + 1 + x3 + 1 = 8x3 + 12
4) Encuentra el área de la figura:
El área del rectángulo se calcula multiplicando la base por la altura.
(2x + 3). (x + 1) = 2x2 + 5x + 3
5) Factoriza los polinomios
a) 8ab + 2a2b - 4b2
b) 25 + 10 años + años2
c) 9 - k2
a) Como hay factores comunes, factorizar poniendo en evidencia estos factores: 2ab (4 + a - 2b)
b) Trinomio cuadrado perfecto: (5 + y)2
c) Diferencia de dos cuadrados: (3 + k). (3 - k)
Vea también: Expresiones algebraicas y Ejercicios sobre expresiones algebraicas
