Multiplicidad de una raíz

Al resolver la ecuación de segundo grado x² - 6x + 9 = 0, encontramos dos raíces iguales a 3. Usando el teorema de descomposición, factorizamos el polinomio y obtenemos:
X² - 6x + 9 = 0 = (x - 3) (x - 3) = (x - 3)²
En este caso, decimos que 3 es la raíz de la multiplicidad 2 o la raíz doble de la ecuación.
Por lo tanto, si un polinomio factorizado da como resultado la siguiente expresión:

Podemos decir eso:
x = -5 es raíz con multiplicidad 3 o raíz triple de la ecuación p (x) = 0
x = -4 es raíz con multiplicidad 2 o raíz doble de la ecuación p (x) = 0
x = 2 es raíz con multiplicidad 1 o raíz simple de la ecuación p (x) = 0
En general, decimos que r es una raíz de multiplicidad n, con n ≥ 1, de la ecuación p (x) = 0, si:

Tenga en cuenta que p (x) es divisible por (x - r)^metro y que la condición q (r) ≠ 0 significa que r no es una raíz de q (x) y garantiza que la multiplicidad de la raíz r no es mayor que m.
Ejemplo 1. Resuelve la ecuación x⁴ - 9 veces³ + 23x² - 3x - 36 = 0, dado que 3 es una raíz doble.

Solución: considere que p (x) es el polinomio dado. Así:

Tenga en cuenta que q (x) se obtiene dividiendo p (x) por (x - 3)².
Al dividir por el dispositivo práctico de Briot-Ruffini, obtenemos:

Después de realizar la división, vemos que los coeficientes del polinomio q (x) son 1, -3 y -4. Entonces, q (x) = 0 será: x² - 3x - 4 = 0
Resolvamos la ecuación anterior para determinar las otras raíces.
X² - 3x - 4 = 0
Δ = (-3)2 - 4*1*(-4)
Δ = 25
x = -1 o x = 4
Por lo tanto, S = {-1, 3, 4}
Ejemplo 2. Escribe una ecuación algebraica de grado mínimo tal que 2 sea una raíz doble y - 1 sea una raíz simple.
Solución: Tenemos que:
(x - 2) (x - 2) (x - (-1)) = 0
O

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Por Marcelo Rigonatto
Especialista en Estadística y Modelización Matemática
Equipo Escolar de Brasil

Polinomios - Matemáticas - Escuela Brasil

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RIGONATTO, Marcelo. "Multiplicidad de una raíz"; Escuela Brasil. Disponible: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/multiplicidade-uma-raiz.htm. Consultado el 29 de junio de 2021.