El teorema de D'Alembert es una consecuencia inmediata del teorema del resto, que se ocupa de la división de polinomios por binomios de tipo x - a. El teorema del resto dice que un polinomio G (x) dividido por un binomio x - a tendrá un resto R igual a P (a), para
x = a. El matemático francés D'Alembert demostró, teniendo en cuenta el teorema antes citado, que un polinomio cualquier Q (x) será divisible por x - a, es decir, el resto de la división será igual a cero (R = 0) si P (a) = 0.
Este teorema facilitó el cálculo de la división de polinomio por binomio (x –a), por lo que no es necesario resolver la división completa para saber si el resto es igual o diferente de cero.
Ejemplo 1
Calcula el resto de la división (x2 + 3x - 10): (x - 3).
Como dice el Teorema de D'Alembert, el resto (R) de esta división será igual a:
P (3) = R
32 + 3 * 3 - 10 = R
9 + 9 - 10 = R
18 - 10 = R
R = 8
Entonces el resto de esta división será 8.
Ejemplo 2
Compruebe si x5 - 2x4 + x3 + x - 2 es divisible por x - 1.
Según D'Alembert, un polinomio es divisible por un binomio si P (a) = 0.
P (1) = (1)5 – 2*(1)4 + (1)3 + (1) – 2
P (1) = 1-2 + 1 + 1-2
P (1) = 3 - 4
P (1) = - 1
Dado que P (1) no es cero, el polinomio no será divisible por el binomio x - 1.
Ejemplo 3
Calcule el valor de m para que el resto de la división del polinomio
P (x) = x4 - mx3 + 5 veces2 + x - 3 por x - 2 es 6.
Tenemos que, R = P (x) → R = P (2) → P (2) = 6
P (2) = 24 - m * 23 + 5*22 + 2 – 3
24 - m * 23 + 5*22 + 2 – 3 = 6
16 - 8m + 20 + 2-3 = 6
- 8m = 6-38 + 3
- 8m = 9 - 38
- 8m = - 29
m = 29/8
Ejemplo 4
Calcular el resto de la división del polinomio 3x3 + x2 - 6x + 7 por 2x + 1.
R = P (x) → R = P (- 1/2)
R = 3 * (- 1/2)3 + (–1/2)2 – 6*(–1/2) + 7
R = 3 * (- 1/8) + 1/4 + 3 + 7
R = –3/8 + 1/4 + 10 (mmc)
R = –3/8 + 2/8 + 80/8
R = 79/8
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por Mark Noah
Licenciada en Matemáticas
Equipo Escolar de Brasil
Polinomios - Matemáticas - Escuela Brasil
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SILVA, Marcos Noé Pedro da. "Teorema de D'Alembert"; Escuela Brasil. Disponible: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/teorema-dalembert.htm. Consultado el 29 de junio de 2021.
