La relación de Euler es una igualdad que relaciona el número de vértices, aristas y caras en poliedros convexos. Dice que el número de caras más el número de vértices es igual al número de aristas más dos.
La relación de Euler viene dada por:
Donde,
F es el número de caras,
V el número de vértices,
LA el número de aristas.
Podemos usar la relación de Euler para determinar o confirmar valores desconocidos de V, F o A, siempre que el poliedro sea convexo.
| Poliedro | F | V | LA | F+V | A + 2 |
|---|---|---|---|---|---|
| Cubo | 6 | 8 | 12 | 6 + 8 = 14 | 12 + 2 = 14 |
| Pirámide triangular | 4 | 4 | 6 | 4 + 4 = 8 | 6 + 2 = 8 |
| prisma de base pentagonal | 7 | 10 | 15 | 7 + 10 = 17 | 15 + 2 = 17 |
| octaedro regular | 8 | 6 | 12 | 8 + 6 = 14 | 12 + 2 = 14 |
Ejemplo
Un poliedro convexo tiene 20 caras y 12 vértices. Determinar el número de aristas.
Usando la relación de Euler y despejando A:
Sustituyendo los valores de F y V:
Caras, vértices y aristas
Los poliedros son formas geométricas tridimensionales sólidas sin lados redondeados. Estos lados son las caras (F) del poliedro.
El encuentro de las caras, lo llamamos aristas (A).
Los vértices son los puntos donde se unen tres o más aristas.
poliedros convexos
Los poliedros convexos son sólidos geométricos que no presentan concavidad, por lo tanto, en ninguna de sus caras hay ángulos internos mayores de 180º.
En este poliedro, el ángulo interior marcado en azul tiene más de 180º, por lo que no es un poliedro convexo.
Ver más sobre poliedros.
Ejercicios sobre la relación de Euler
Ejercicio 1
Calcula el número de caras de un poliedro de 9 aristas y 6 vértices.
Respuesta correcta: 5 caras.
Usando la relación de Euler:
F + V = A + 2
F = A + 2 - V
F = 9 + 2 - 6
F = 11 - 6
F = 5
Ejercicio 2
Un dodecaedro es un sólido platónico con 12 caras. Sabiendo que tiene 20 vértices, determina su número de aristas.
Respuesta correcta:
Usando la relación de Euler:
F + V = A + 2
F + V - 2 = A
12 + 20 - 2 = UN
32 - 2 = A
30 = un
Ejercicio 3
¿Cómo se llama el poliedro de 4 vértices y 6 aristas en relación a su número de caras, donde las caras son triángulos?
Respuesta: tetraedro.
Necesitamos determinar su número de caras.
F + V = A + 2
F = A + 2 - V
F = 6 + 2 - 4
F = 8 - 4
F = 4
Un poliedro que tiene 4 caras en forma de triángulos se llama tetraedro.
¿Quién fue Leonhard Paul Euler?
Leonhard Paul Euler (1707-1783) fue uno de los matemáticos y físicos más competentes de la historia, además de contribuir a los estudios de astronomía. Suizo de habla alemana, fue profesor de física en la Academia de Ciencias de San Petersburgo y más tarde en la Academia de Berlín. Ha publicado varios estudios sobre Matemáticas.
Aprende también:
- Sólidos geométricos
- Geometría espacial
- Formas geometricas
- Prisma - Figura Geométrica
- Pirámide
- Piedra pavimentada
- Cubo
