Matriz transpuesta: que es, propiedades, ejemplos

LA matriz transpuesta de la matriz M es la matriz M^t. se trata del sede que vamos a conseguir cuando reescribimos la matriz M cambiando la posición de las filas y columnas, transformando la primera fila de M en la primera columna de M^t, la segunda fila de M en la segunda columna de M^t, y así sucesivamente.

Si la matriz M tiene metro líneas y No columnas, su matriz transpuesta, es decir, M^t, tendrá No líneas y metro columnas. Hay propiedades específicas para la matriz transpuesta.

Lea también: ¿Qué es una matriz triangular?

¿Cómo se obtiene la matriz transpuesta?

Dada una matriz A_mxn, conocemos como la matriz transpuesta de A a la matriz A^t_{n x m}. Para encontrar la matriz transpuesta, simplemente cambie la posición de las filas y columnas de la matriz A. Cualquiera que sea la primera fila de la matriz A será la primera columna de la matriz A transpuesta^t, la segunda fila de la matriz A será la segunda columna de la matriz A^t, y así sucesivamente.

Algebraicamente, sea M = (m_ij)_mxn, la matriz transpuesta de M es M^t = (m_Ji) _{n x m}.

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Ejemplo:

Encuentre la matriz transpuesta de la matriz:

La matriz M es una matriz de 3x5, por lo que su transposición será 5x3. Para encontrar la matriz transpuesta, haremos que la primera fila de la matriz M sea la primera columna de la matriz M^t.

La segunda fila de la matriz M será la segunda columna de la matriz transpuesta:

Finalmente, la tercera fila de la matriz M se convertirá en la tercera columna de la matriz M.^t:

matriz simétrica

Partiendo del concepto de matriz transpuesta, es posible definir qué es una matriz simétrica. Una matriz se conoce como simétrica cuando es igual a su matriz transpuesta, es decir, dada la matriz M, M = M^t.

Para que eso suceda la matriz debe ser cuadrada, lo que significa que para que la matriz sea simétrica, el número de filas debe ser igual al número de columnas.

Ejemplo:

Cuando analizamos los términos por encima de la diagonal principal y los términos por debajo de la diagonal principal de la matriz S, es posible ver que hay términos que son iguales, lo que la hace conocida como simétrica exactamente por la simetría de la matriz en relación con la diagonal principal.

Si encontramos la transpuesta de la matriz S, es posible ver que S^t es igual a S.

Como S = S^t, esta matriz es simétrica.

Vea también: ¿Cómo resolver sistemas lineales?

Propiedades de la matriz transpuesta

1ra propiedad: la transposición de una matriz transpuesta es igual a la propia matriz:

(METRO^t)^t = M

2da propiedad: la transpuesta de la suma entre las matrices es igual a la suma de la transpuesta de cada una de las matrices:

(M + N)^t = M^t+ N^t

3ra propiedad: la transposición de multiplicación entre dos matrices es igual a la multiplicación de la transpuesta de cada una de las matrices:

(M · N)^t = M^t · N^t

4ta propiedad: O determinante de la matriz es igual al determinante de la matriz transpuesta:

det (M) = det (M^t)

Quinta propiedad: la matriz transpuesta multiplicada por la constante es igual a la matriz transpuesta multiplicada por la constante:

(kA)^t = kA^t

Matriz inversa

El concepto de matriz inversa es bastante diferente del concepto de matriz transpuesta, y es importante enfatizar la diferencia entre ellos. La matriz inversa de una matriz M es la matriz M^-1, donde el producto entre las matrices M y M^-1 es igual a la matriz de identidad.

Ejemplo:

Para obtener más información sobre este tipo de matriz, lea nuestro texto: Matriz inversa.

matriz opuesta

Siendo otro caso de una matriz especial, la matriz opuesta a la matriz M es la matriz -M. Conocemos como la matriz opuesta de M = (m_ij) la matriz -M = (-m_ij). La matriz opuesta se compone de los términos opuestos de la matriz M.