La geometría analítica estudia elementos geométricos en un sistema de coordenadas en un plano o espacio. Estos objetos geométricos están determinados por su ubicación y posición en relación con los puntos y ejes de este sistema de orientación.
Desde los pueblos antiguos, como los egipcios y los romanos, la idea de coordenadas ya ha aparecido en la historia. Pero fue en el siglo XVII, con las obras de René Descartes y Pierre de Fermat, que se sistematizó este campo de las Matemáticas.
Sistema ortogonal cartesiano
El sistema cartesiano ortogonal es una base de referencia para localizar coordenadas. Está constituido, en un plano, por dos ejes perpendiculares entre sí.
- El origen O (0,0) de este sistema es la intersección de estos ejes.
- El eje x es la abscisa.
- El eje y es la ordenada.
- Los cuatro cuadrantes tienen orientación en sentido antihorario.
par ordenado
Cualquier punto del plano tiene la coordenada P (x, y).
x es la abscisa del punto P y constituye la distancia desde su proyección ortogonal en el eje x hasta el origen.
y es la ordenada del punto P y es la distancia desde su proyección ortogonal en el eje y hasta el origen.
distancia entre dos puntos
La distancia entre dos puntos en el plano cartesiano es la longitud del segmento que une estos dos puntos.
Fórmula de distancia entre dos puntos y
alguna.
Coordenadas del punto medio
El punto medio es el punto que divide un segmento en dos partes iguales.
Ser el punto medio de un segmento
, sus coordenadas son las medias aritméticas de las abscisas y ordenadas.
y
Condición de alineación de tres puntos
Dados los puntos: .
Estos tres puntos se alinearán si el determinante de la siguiente matriz es igual a cero.
Ejemplo
Coeficiente angular de una línea
La pendiente de una línea recta es la tangente de su pendiente
con respecto al eje x.
Para obtener la pendiente de dos puntos:
Si m> 0, la línea es ascendente; de lo contrario, si m <0, la línea es descendente.
ecuación general de la recta
Dónde Los,B y C son números reales constantes y, los y B no son simultáneamente nulos.
Ejemplo
Ecuación lineal conociendo un punto y la pendiente.
dado un punto y la pendiente
.
La ecuación de la recta será:
Ejemplo
Forma reducida de la ecuación recta
Dónde:
m es la pendiente;
n es el coeficiente lineal.
no se ordena donde la línea se cruza con el eje y.
Ejemplo
vea Ecuación de línea.
Posición relativa entre dos líneas paralelas en un plano
Dos líneas distintas son paralelas cuando sus pendientes son iguales.
si una recta r tiene pendiente y una recta s tiene pendiente
, estos son paralelos cuando:
Para ello, tus inclinaciones deben ser iguales.
Las tangentes son iguales cuando los ángulos son iguales.
Posición relativa entre dos líneas rectas en competencia en un plano
Dos líneas son concurrentes cuando sus pendientes son diferentes.
A su vez, las pendientes difieren cuando sus ángulos de inclinación con respecto al eje x son diferentes.
lineas perpendiculares
Dos restos son perpendiculares cuando el producto de sus pendientes es igual a -1.
dos rectas r y s, distinto, con pendientes y
, son perpendiculares si, y solo si:
o
Otra forma de saber si dos rectas son perpendiculares es a partir de sus ecuaciones en forma general.
Las ecuaciones de las rectas rys son:
Dos líneas perpendiculares a él cuando:
vea Lineas perpendiculares.
Circunferencia
La circunferencia es el lugar geométrico en el plano donde todos los puntos P (x, y) están a la misma distancia r desde su centro C (a, b), donde r es la medida del radio.
Ecuación de circunferencia en forma reducida
Dónde:
r es el radio, la distancia entre cualquier punto de su arco y el centro. C.
los y B son las coordenadas del centro C.
ecuación general del círculo
Se obtiene desarrollando los términos al cuadrado de la ecuación reducida de la circunferencia.
Es muy común mostrar la forma general de la ecuación de circunferencia en los ejercicios, también conocida como forma normal.
cónico
La palabra cónica proviene de un cono y se refiere a las curvas que se obtienen al seccionarlo. Elipse, hipérbola y parábola son curvas llamadas cónicas.
Elipse
Elipse es una curva cerrada que se obtiene seccionando un cono circular recto por un plano oblicuo al eje, que no pasa por el vértice y no es paralelo a sus generatrices.
En un plano, el conjunto de todos los puntos cuya suma de distancias a dos puntos fijos internos es constante.
Elementos de elipse:
- F1 y F2 son los focos de la elipse;
- 2c es la distancia focal de la elipse. Es la distancia entre F1 y F2;
- El punto O es el centro de la elipse. Es el punto medio entre F1 y F2;
- A1 y A2 son los vértices de la elipse;
- el segmento
eje mayor e igual a 2a.
- el segmento
eje menor es igual a 2b.
- Excentricidad
donde 0
Ecuación de elipse reducida
Considere un punto P (x, y) contenido en la elipse donde x es la abscisa e y es la ordenada de este punto.
Centro de la elipse en el origen del sistema de coordenadas y eje mayor (AA) en el eje x.
Centro de la elipse en el origen del sistema de coordenadas y eje mayor (AA) en el eje y.
Ecuación reducida de la elipse con ejes paralelos a los ejes de coordenadas
considerando un punto como el origen del sistema cartesiano y, un punto
como el centro de la elipse.
AA eje mayor, paralelo al eje x.
AA eje mayor, paralelo al eje y.
Hipérbole
La hipérbola es un conjunto de puntos en un plano donde la diferencia entre dos puntos fijos F1 y F2 da como resultado un valor positivo constante.
Elementos de hipérbole:
- F1 y F2 son los focos de hipérbola.
- 2c =
es la distancia focal.
- El centro de la hipérbole es el punto Oh Promedio del segmento F1F2.
- A1 y A2 son los vértices.
- 2a = A1A2 es el eje real o transversal.
- 2b = B1B2 es el eje imaginario o conjugado.
-
es la excentricidad.
A través del triángulo B1OA2
Ecuación reducida de hipérbola
Con eje real sobre el eje xy centro en el origen.
Con eje real sobre eje y y centro en origen.
Ecuación de hipérbola con ejes paralelos a ejes de coordenadas
AA eje real paralelo al eje x y al centro .
Eje real AA paralelo al eje y y al centro .
Parábola
La parábola es el lugar donde el conjunto de puntos P (x, y) están a la misma distancia de un punto fijo F y una línea d.
Elementos de la parábola:
- F es el centro de la parábola;
- d es la directriz recta;
- El eje de simetría es la línea recta que pasa por el foco F y es perpendicular a la línea guía.
- V es el vértice de la parábola.
- p es el segmento de la misma longitud entre el foco F y el vértice V e, entre el vértice y la directiva d.
Ecuaciones reducidas de la parábola
Con vértice en el origen y eje de simetría en el eje y.
Si p> 0 concavidad hacia arriba.
Si p <0 concavidad hacia abajo.
Con vértice en el origen y eje de simetría en el eje x.
Si p> 0 concavidad a la derecha.
Si p <0 concavidad hacia la izquierda.
Con eje de simetría paralelo al eje y y al vértice .
Con eje de simetría paralelo al eje x y al vértice .
practicar con Ejercicios de geometría analítica.
Obtenga más información en:
Plano cartesiano
distancia entre dos puntos
cónico
Cálculo del coeficiente angular
