La proporción es una igualdad entre razones. Dos razones son proporcionales cuando el resultado de dividir el numerador y el denominador de la primera razón es igual al resultado de dividir el segundo.
Dónde www y D son números distintos de cero y, en ese orden, forman una proporción.
Leemos una proporción de las siguientes formas:
- los es para B por la misma razón que C es para D;
- los es para B así como C es para D;
- los y B son proporcionales a C y D.
En proporción:
Ejemplo
La igualdad es verdadera porque 4/2 = 2, así como 12/6 = 2.
Propiedades proporcionales
Las propiedades son herramientas matemáticas que facilitan la resolución de problemas. Usando las propiedades de las proporciones, podemos crear otras proporciones, más útiles para resolver problemas.
Propiedad fundamental de las proporciones
El producto de los medios es igual al producto de los extremos.
La siguiente igualdad entre razones es una proporción,
Entonces es cierto que:
Es común llamar a esta propiedad multiplicación cruzada. Esta propiedad se utiliza en el procedimiento denominado regla de tres.
Ejemplo
Otras propiedades
Algunas propiedades no reciben nombres especiales, aunque son importantes en los cálculos.
Propiedad 1
La suma (o resta) de los denominadores a los numeradores de sus razones no cambia la proporción.
siendo verdad la proporción
Entonces vale la pena:
En la primera razón, sumamos o restamos el denominador b, y en la segunda razón, sumamos o restamos el denominador d.
Ejemplo
Entonces vale la pena:
Propiedad 2
La suma (o resta) de los numeradores y denominadores de la segunda razón a los de la primera es igual a la primera o la segunda razón.
Si la proporción es verdadera:
Entonces vale la pena:
Ejemplo
Si la proporción es verdadera:
Entonces vale la pena:
Ejercicios
Ejercicio 1
Un mapa presenta la escala 1: 3500 (1 a 3500) centímetros. Se realizó una medición de 8 centímetros en el mapa. Esta medida en el mapa representa ¿cuántos centímetros reales?
La escala se puede escribir como la razón. .
Por esta razón, el numerador representa los centímetros en el mapa, mientras que el denominador representa los centímetros reales.
Podemos, en ese orden, escribir una razón para el valor desconocido.
Los centímetros medidos en el mapa están en el numerador, mientras que los centímetros reales, que queremos determinar, están en el denominador.
Al escribir una relación entre estas dos razones, tenemos:
Para determinar el valor desconocido, usamos la propiedad fundamental de las proporciones: el producto de los extremos es igual al producto de las medias.
Por tanto, 8 cm en el mapa equivalen a 28 000 cm reales.
Ejercicio 2
Catarina va a hacer un pastel para su familia y, para eso, ha creado una receta que prescribe las siguientes cantidades:
4 huevos;
2 tazas de azucar;
300 gramos de harina de trigo.
Como tiene 7 huevos y le gustaría usarlos a la vez, aumentando la cantidad de huevos en la receta, es necesario aumentar proporcionalmente las cantidades de los otros ingredientes. Por tanto, en su preparación, ¿qué cantidad de los demás ingredientes debería utilizar?
Determinamos las nuevas cantidades proporcionales de cada ingrediente.
Azúcar
En la receta original, por cada 4 huevos se utilizan 2 tazas de azúcar.
En la nueva preparación, Catarina utilizará 7 huevos y, aunque todavía no sabemos la cantidad de tazas de azúcar, por ahora lo llamaremos x.
Como estas razones deben ser proporcionales, las igualaremos.
Para determinar el valor de x, usamos la propiedad fundamental de las proporciones, que dice que el producto de los extremos es igual al producto de las medias.
Aislando la x en el lado izquierdo de la igualdad:
Por lo tanto, Catarina utilizará tres tazas y media de azúcar en la nueva preparación.
Siguiendo el mismo razonamiento para la cantidad de trigo, tenemos:
Por tanto, Catarina tendrá que utilizar 525 gramos de harina de trigo en la nueva preparación de su bizcocho.
Aprenda más de:
Razón y proporción
Ejercicios de razón y proporción
Proporcionalidad
cantidades proporcionales
