Progresión aritmética (P.A.)

LA Progresión aritmética (P.A.) es una secuencia de números donde la diferencia entre dos términos consecutivos es siempre la misma. Esta diferencia constante se llama P.A.

Así, a partir del segundo elemento de la secuencia, los números que aparecen son el resultado de la suma de la constante con el valor del elemento anterior.

Esto es lo que la diferencia de la progresión geométrica (PG), porque en esta los números se multiplican por la razón, mientras que en la progresión aritmética se suman.

Las progresiones aritméticas pueden tener un número fijo de términos (P.A. finito) o un número infinito de términos (P.A. infinito).

Para indicar que una secuencia continúa indefinidamente usamos elipses, por ejemplo:

• la secuencia (4, 7, 10, 13, 16, ...) es un P.A. infinito
• la secuencia (70, 60, 50, 40, 30, 20, 10) es un P.A. finito

Cada término de un P.A. se identifica por la posición que ocupa en la secuencia y para representar cada término usamos una letra (generalmente la letra La) seguido de un número que indica su posición en la secuencia.

Por ejemplo, el término La₄ en P.A (2, 4, 6, 8, 10) es el número 8, ya que es el número que ocupa la 4ª posición en la secuencia.

Clasificación de un P.A.

Según el valor de la relación, las progresiones aritméticas se clasifican en:

• Constante: cuando la relación es igual a cero. Por ejemplo: (4, 4, 4, 4, 4 ...), donde r = 0.
• Creciente: cuando la relación es mayor que cero. Por ejemplo: (2, 4, 6, 8,10 ...), donde r = 2.
• descendente: cuando la relación es menor que cero (15, 10, 5, 0, - 5, ...), donde r = - 5

Propiedades de P.A.

1ra propiedad:

En un PA finito, la suma de dos términos equidistantes de los extremos es igual a la suma de los extremos.

Ejemplo

2da propiedad:

Considerando tres términos consecutivos de un P.A., el término medio será igual a la media aritmética de los otros dos términos.

Ejemplo

3ra propiedad:

En un AP finito con un número impar de términos, el término central será igual a la media aritmética entre términos equidistantes de él. Esta propiedad se deriva de la primera.

Fórmula de término general

Dónde,

un: término que queremos calcular
a1: primer trimestre de P.A.
n: posición del término que queremos descubrir
r: razón

Explicación de la fórmula

Como la razón de un P.A. es constante, podemos calcular su valor a partir de términos consecutivos, es decir:

Por lo tanto, podemos encontrar el valor del segundo término del P.A. haciendo:

Para encontrar el tercer término usaremos el mismo cálculo:

Reemplazando el valor de un₂, que encontramos anteriormente, tenemos:

Si seguimos el mismo razonamiento, podemos encontrar:

Observando los resultados encontrados, notamos que cada término será igual a la suma del primer término con la razón multiplicada por la posición anterior.

Este cálculo se expresa mediante la fórmula del término general de P.A., que nos permite conocer cualquier elemento de una progresión aritmética.

Ejemplo

Calcula el décimo término del P.A.: (26, 31, 36, 41, ...)

Solución

Primero, debemos identificar que:

La₁ = 26
r = 31 - 26 = 5
n = 10 (décimo término).

Sustituyendo estos valores en la fórmula del término general, tenemos:

La_No = el₁ + (n - 1). r
La₁₀ = 26 + (10-1). 5
La₁₀ = 26 + 9 .5
La₁₀ = 71

Por tanto, el décimo término de la progresión aritmética indicada es igual a 71.

Fórmula de término general de cualquier término k

A menudo, para definir cualquier término genérico, al que llamamos an, no tenemos el primer término a1, pero conocemos cualquier otro término, al que llamamos ak.

Podemos usar la fórmula del término general de cualquier término k:

Tenga en cuenta que la única diferencia fue el cambio del índice 1 en la primera fórmula a k en la segunda.

Ser,

an: el enésimo término del P.A. (un término en cualquier n posición)
ak: el k-ésimo término de un P.A. (un término en cualquier k posición)
r: la razón

Suma de términos de un P.A.

Para encontrar la suma de términos de un P.A. finito, simplemente use la fórmula:

Dónde,

s_No: suma de los primeros n términos de P.A.
La₁: primer trimestre de P.A.
La_No: ocupa la enésima posición en la secuencia (un término en la posición n)
No: puesto de término

También lea sobre PA y PG.

Ejercicio resuelto

Ejercicio 1

PUC / RJ - 2018

Sabiendo que los números en la secuencia (y, 7, z, 15) están en progresión aritmética, ¿cuál es el valor de la suma y + z?

a) 20
b) 14
c) 7
d) 3,5
e) 2

Ver respuesta

Para encontrar el valor de z, podemos usar la propiedad que dice que cuando tenemos tres términos consecutivos, el término medio será igual a la media aritmética de los otros dos. Entonces tenemos:

Si z es igual a 11, entonces la razón será igual a:

r = 11 - 7 = 4

De esta forma, y ​​será igual a:

y = 7 - 4 = 3

Por lo tanto:

y + z = 3 + 11 = 14

Alternativa: b) 14

Ejercicio 2

NIIF - 2017

En la siguiente figura, tenemos una secuencia de rectángulos, todos de altura a. La base del primer rectángulo es by los rectángulos subsiguientes son el valor base del anterior más una unidad de medida. Por lo tanto, la base del segundo rectángulo es b + 1 y el tercero es b + 2 y así sucesivamente.

Considere las siguientes declaraciones.

I - La secuencia de las áreas del rectángulo es una progresión aritmética de razón 1.
II - La secuencia de las áreas de los rectángulos es una progresión aritmética de razón a.
III - La secuencia de las áreas de los rectángulos es una progresión geométrica de razón a.
IV - El área del n-ésimo rectángulo (A_No) se puede obtener mediante la fórmula A_No = a. (b + n - 1).

Marque la alternativa que contenga las declaraciones correctas.

allí.
b) II.
c) III.
d) II y IV.
e) III y IV.

Ver respuesta

Calculando el área de los rectángulos, tenemos:

A = a. B
LA₁ = a. (b + 1) = a. b + a
LA₂ = a. (b + 2) = a. B. + 2do
LA₃ = a. (b + 3) = a. b + 3a

De las expresiones encontradas, notamos que la secuencia forma un P.A. de razón igual a La. Continuando con la secuencia, encontraremos el área del enésimo rectángulo, que viene dada por:

LA_No= a. b + (n - 1) .a
LA_No = a. b + a. a

poniendo el La en evidencia, tenemos:

LA_No = a (b + n - 1)

Alternativa: d) II y IV.

Ejercicio 3

UERJ

Admitir la celebración de un campeonato de fútbol en el que las advertencias recibidas por los deportistas estén representadas únicamente por tarjetas amarillas. Estas tarjetas se convierten en multas, de acuerdo con los siguientes criterios:

• Las dos primeras tarjetas recibidas no generan multas;
• La tercera tarjeta genera una multa de R $ 500,00.
• Las siguientes tarjetas generan multas cuyos valores siempre se incrementan en R $ 500,00 con relación al valor de la multa anterior.

La tabla muestra las multas relacionadas con las cinco primeras tarjetas aplicadas a un atleta.

Considere un atleta que recibió 13 tarjetas amarillas durante el campeonato. El monto total, en reales, de las multas generadas por todas estas tarjetas es:

a) 30.000
b) 33 000
c) 36 000
d) 39 000

Ver respuesta

Respuesta correcta: b) 33 000

A partir de la tercera tarjeta amarilla, el monto de la multa aumenta en un P.A. con una relación de R $ 500,00. Considerando el primer término, a1, con el valor de la tercera carta, R $ 500,00.

Para determinar el monto total de las multas, debemos utilizar la fórmula de la suma de los términos del P.A.

Como el atleta tiene 13 tarjetas amarillas, pero las dos primeras no generan multas, haremos un P.A. de 13-2 términos, es decir, 11 términos.

Así, tenemos los siguientes valores:

a1 = 500
n = 11
r = 500

Para encontrar el valor del enésimo término, a11, usamos la fórmula del término general.

an = a1 + (n-1) .r
a21 = 500 + (11-1) x 500
a21 = 500 + 10 x 500
a21 = 5500

Aplicando la fórmula de la suma de términos de un P.A.

Resuelve más ejercicios en:

Progresión aritmética - Ejercicios

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