La bisectriz es una línea recta perpendicular a un segmento de línea que pasa por el punto medio de este segmento.
Todos los puntos que pertenecen a la bisectriz son equidistantes de los extremos de este segmento.
Recordando que, a diferencia de la línea, que es infinita, el segmento de línea está limitado por dos puntos en una línea. Es decir, se considera parte de la línea.
¿Cómo construir la bisectriz?
Podemos construir la bisectriz de una línea recta usando regla y brújula. Para hacer esto, siga estos pasos:
- Dibuje un segmento de línea y en sus extremos marque el punto A y el punto B.
- Tome una medida y haga una abertura que sea un poco más grande que la mitad de la longitud del segmento.
- Con esta apertura, coloque el extremo seco de la brújula en el punto A y dibuje un semicírculo. Manteniendo la misma apertura en la barra, haz lo mismo en el punto B.
- Los semicírculos trazados se cruzan en dos puntos, uno por encima del segmento de línea y otro por debajo. Con la regla, une estos dos puntos, esta línea trazada es la bisectriz del segmento AB.
Bisectriz de un triángulo
Las bisectrices de un triángulo son líneas perpendiculares dibujadas a través del punto medio de cada uno de sus lados. Por tanto, un triángulo tiene 3 bisectrices.
El punto de encuentro de estas tres bisectrices se llama circuncentro. Este punto, que está a la misma distancia de cada uno de sus vértices, es el centro del círculo circunscrito en el triángulo.
Mediana, bisectriz y altura de un triángulo
En un triángulo, además de bisectrices, podemos construir medianas, que son segmentos de líneas rectas que también pasan por el punto medio de los lados.
La diferencia es que mientras la bisectriz forma una ángulo 90º con el lado, la mediana une el vértice al punto medio de los lados opuestos, formando un ángulo que puede o no ser de 90º.
Todavía podemos trazar alturas y bisectrices. La altura también es perpendicular a los lados del triángulo, pero forma parte de su vértice. A diferencia de la bisectriz, la altura no pasa necesariamente por el punto medio del lado.
Partiendo del vértice, podemos trazar las bisectrices internas, que son segmentos de líneas rectas que dividen los ángulos del triángulo en otros dos ángulos de la misma medida.
En un triángulo, podemos dibujar tres medianas y se encuentran en un punto llamado baricentro. Este punto se llama centro de gravedad de un triángulo.
El baricentro divide las medianas en dos partes, ya que la distancia del punto al vértice es el doble de la distancia del punto al lado.
Mientras que el punto de encuentro de alturas (o sus extensiones) se llama ortocentro, el encuentro de las bisectrices internas se llama centrar.
ejercicios resueltos
1) Epcar - 2016
Un terreno en forma de triángulo rectángulo se dividirá en dos lotes mediante una cerca hecha en la bisectriz de la hipotenusa, como se muestra en la figura.
Se sabe que los lados AB y BC de este terreno miden, respectivamente, 80 my 100 m. Por lo tanto, la relación entre el perímetro del lote I y el perímetro del lote II, en ese orden, es
Para encontrar la relación entre los perímetros, es necesario conocer la medida de todos los lados del lote I y del lote II.
Sin embargo, no conocemos las medidas de los lados. ,
y
de mucho yo, ni la medida de
del lote II.
Para empezar, podemos encontrar el valor de la medida en el lado , aplicando el teorema de Pitágoras, es decir:
También podríamos encontrar este valor notando que tenemos un múltiplo del triángulo pitagórico 3, 4 y 5.
Así, si un lado mide 80 m (4. 20), el otro mide 100 m (5. 20), por lo que el tercer lado solo puede medir 60 m (3. 20).
Sabemos que la valla es la bisectriz de la hipotenusa, por lo que divide este lado en dos partes iguales, formando un ángulo de 90º con el lado. De esta forma, el triángulo PMB es un rectángulo.
Tenga en cuenta que los triángulos PMB y ACB son similares, ya que tienen ángulos con la misma medida. llamando al lado de x, tenemos ese lado
será igual a 80-x.
Por tanto, podemos escribir las siguientes proporciones:
Todavía tenemos que encontrar la medida en el lateral. . Para encontrar este valor, llamemos a este lado y. Por semejanza de triángulos, encontramos la siguiente proporción:
Ahora que conocemos la medida desde todos los lados, podemos calcular los perímetros de los lotes:
Antes de calcular el perímetro del lote II, tenga en cuenta que la medida de será igual a
, o sea
. De esta forma, el perímetro será:
Así, la relación entre los perímetros será igual a:
Alternativa: d)
2) Enem - 2013
En los últimos años, la televisión ha experimentado una auténtica revolución, en cuanto a calidad de imagen, sonido e interactividad con el espectador. Esta transformación se debe a la conversión de la señal analógica a la señal digital. Sin embargo, muchas ciudades aún no cuentan con esta nueva tecnología. Buscando llevar estos beneficios a tres ciudades, una estación de televisión pretende construir una nueva torre de transmisión, que envía una señal a las antenas A, B y C, que ya existen en estas ciudades. Las ubicaciones de las antenas se representan en el plano cartesiano:
La torre debe estar ubicada en una ubicación equidistante de las tres antenas. El lugar adecuado para la construcción de esta torre corresponde al punto de coordenadas
a) (65; 35).
b) (53; 30).
c) (45; 35).
d) (50; 20).
e) (50; 30).
Como queremos que la torre se construya en una ubicación equidistante de las tres antenas, debe ubicarse en algún punto perteneciente a la bisectriz de la línea AB, como se representa en la siguiente imagen:
De la imagen, concluimos que la abscisa del punto será igual a 50. Ahora necesitamos encontrar el valor de ordenadas. Para ello, consideremos que la distancia entre los puntos AT y AC es igual:
Alternativa: e) (50; 30)
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