La permutación es una técnica de conteo que se usa para determinar cuántas formas hay de ordenar los elementos de un conjunto finito. Hacer un intercambio es realizar un intercambio y, en problemas de combinatoria, significa intercambiar los elementos del lugar, considerando su ordenamiento.
Estas técnicas forman parte de un campo de las Matemáticas denominado Análisis Combinatorio, que tiene como objetivo conocer y contar las diferentes formas de organizar conjuntos y sus elementos. La permutación simple y una con elementos repetidos abordan esta categoría de problemas.
permutación simple
Una permutación simple es el orden de los elementos de un conjunto finito, cuando su los elementos no se repiten, son distintos. Se utiliza para determinar la cantidad de estos tipos.
La cantidad de permutaciones de un conjunto de n elementos es igual an! (lee n factorial).
La fórmula para determinar el número de permutaciones simples es
Considere un conjunto con n elementos. Para organizarlos en una cola, debemos elegir el primero, y para eso tenemos n posibilidades. Para elegir la segunda, tenemos (n-1) posibilidades, una menos, porque ya usamos una opción al elegir la primera. Este proceso continúa hasta que solo queda un elemento.
Para determinar el número total de permutaciones, multiplicamos el número de posibilidades que existen al elegir cada elemento. De esa forma:
La expresión anterior se llama factorial de ny usamos el símbolo ¡No!.
aprender más sobre factorial aqui.
Ejemplo:
Las diferentes formas de organizar las letras de una palabra se denominan anagramas. ¿Cuántos anagramas hay para la palabra PATO?
Estas son las posibilidades:
Entonces, como la palabra PATO tiene 4 letras, tenemos que
Entonces, hay 24 permutaciones simples para la palabra PATO.
Ejercicios simples de permutación
Pregunta 1
Calcule el valor de .
Pregunta 2
Considere una cola de personas por orden de llegada donde hay seis personas en un momento dado. ¿De cuántas formas distintas se podría clasificar a estas personas del primero al último?
Cada formulario de pedido es una simple permutación, ya que los individuos son únicos y no se repiten. Entonces, con seis personas, la respuesta es una permutación con 6 elementos.
Pregunta 3
Considere la palabra HORQUILLA y responda las siguientes preguntas.
a) ¿Cuántos son los anagramas de la palabra TENEDOR?
Como las letras no se repiten, este es un caso de permutación simple de 5 elementos.
b) ¿Cuántos anagramas comienzan con la letra A?
En este caso, fijamos la letra A al principio y calculamos las permutaciones con las letras GRFO, que son permutaciones de 4 elementos.
1 posibilidad para la letra A x .
c) ¿Cuántos anagramas hay si las vocales siempre están una al lado de la otra?
Una posibilidad sería G R F A O.
Hay tres formas de ordenar las consonantes. P3 = 3 x 2 x 1 = 6
Hay dos formas de ordenar las vocales. P2 = 2 x 1 = 2
Todavía hay dos formas más de organizar los grupos (consonantes y vocales) entre sí. P2 = 2 x 1 = 2
Ahora solo multiplica los resultados.
P3 x P2 x P2 = 6 x 2 x 2 = 24
Entonces hay 24 anagramas donde las vocales siempre están juntas.
Permutación con repetición
Una permutación con elementos repetidos ocurre cuando en un conjunto de n elementos, algunos de ellos son iguales.
En la fórmula para determinar el número de permutaciones con repetición, dividimos el factorial del número total n de elementos por el producto de los factoriales de los elementos repetidos.
es el número de permutaciones de n elementos.
es el número de elementos de cada tipo que se repiten.
es el factorial del número total de elementos n.
Ejemplos de
Determinamos cuántas permutaciones hay para la palabra EGG. Para hacerlo más fácil, coloreemos las letras. Veamos los anagramas de la palabra HUEVO.
El número de permutaciones simples con 3 elementos viene dado por
Sin embargo, algunas permutaciones se repiten y no podemos contarlas dos veces. Para ello debemos dividir el valor de (porque la palabra tiene tres letras), por
(porque la letra O se repite dos veces).
Por tanto, el número de permutaciones de las letras de la palabra OVO es igual a 3.
Veamos este otro ejemplo donde definiremos el número de permutaciones de las letras de la palabra BANANA.
Dónde:
significa permutación con 6 elementos donde se repiten las letras A y N.
3! porque la letra A se repite tres veces.
2! porque la letra N se repite dos veces.
¡Un consejo para facilitar el cálculo es desarrollar el 6! hasta llegar a 3!, simplificando con el denominador. Ver el desarrollo.
Por lo tanto, el número de permutaciones de las letras de la palabra BANANA es igual a 60.
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