El área de la figura plana representa la extensión de la extensión de la figura en el plano. Como figuras planas, podemos mencionar el triángulo, el rectángulo, el rombo, el trapezoide, el círculo, entre otros.
Utilice las preguntas siguientes para comprobar su conocimiento de este importante tema de la geometría.
Problemas del concurso resueltos
Pregunta 1
(Cefet / MG - 2016) El área cuadrada de un solar debe dividirse en cuatro partes iguales, también cuadradas, y, en uno de ellos se debe mantener una reserva de bosque nativo (área sombreada), como se muestra en la figura a seguir.
Sabiendo que B es el punto medio del segmento AE y C es el punto medio del segmento EF, el área sombreada, en m2, Dame
a) 625,0.
b) 925,5.
c) 1562,5.
d) 2500,0.
Alternativa correcta: c) 1562.5.
Observando la figura, notamos que el área sombreada corresponde al área del cuadrado con un lado de 50 m menos el área de los triángulos BEC y CFD.
La medida del lado BE, del triángulo BEC, es igual a 25 m, ya que el punto B divide el lado en dos segmentos congruentes (punto medio del segmento).
Lo mismo ocurre con los lados EC y CF, es decir, sus medidas también son iguales a 25 m, ya que el punto C es el punto medio del segmento EF.
Por lo tanto, podemos calcular el área de los triángulos BEC y CFD. Considerando dos lados conocidos como base, el otro lado será igual a la altura, ya que los triángulos son rectángulos.
Calculando el área del cuadrado y los triángulos BEC y CFD, tenemos:
Por lo tanto, el área sombreada, en m2, mide 1562,5.
Pregunta 2
(Cefet / RJ - 2017) Un cuadrado con un lado x y un triángulo equilátero con un lado y tienen áreas de la misma medida. Por tanto, se puede decir que la relación x / y es igual a:
Alternativa correcta: .
La información que se da en el problema es que las áreas son las mismas, es decir:
El área del triángulo se calcula multiplicando la medida de la base por la medida de la altura y dividiendo el resultado por 2. Dado que el triángulo es equilátero y el lado es igual ay, su valor de altura viene dado por:
Por tanto, se puede decir que la relación x / y es igual a .
Pregunta 3
(IFSP - 2016) Una plaza pública en forma de círculo tiene un radio de 18 metros. A la luz de lo anterior, marque la alternativa que presenta su área.
a) 1.017,36 m2
b) 1.254,98 m2
c) 1.589,77 m2
d) 1.698,44 m2
e) 1.710,34 m2
Alternativa correcta: a) 1017, 36 m2.
Para encontrar el área del cuadrado, debemos usar la fórmula para el área del círculo:
A = π.R2
Sustituyendo el valor del radio y considerando π = 3.14, encontramos:
A = 3,14. 182 = 3,14. 324 = 1017, 36 m2
Por lo tanto, el área cuadrada es 1017, 36 m2.
pregunta 4
(NIIF - 2016) Un rectángulo tiene dimensiones xey, que se expresan mediante las ecuaciones x2 = 12 y (y - 1)2 = 3.
El perímetro y el área de este rectángulo son respectivamente
a) 6√3 + 2 y 2 + 6√3
b) 6√3 y 1 + 2√3
c) 6√3 + 2 y 12
d) 6 y 2√3
e) 6√3 + 2 y 2√3 + 6
Alternativa correcta: e) 6√3 + 2 y 2√3 + 6.
Primero resolvamos las ecuaciones para encontrar los valores de xey:
X2= 12 ⇒ x = √12 = √4,3 = 2√3
(y - 1) 2= 3 ⇒ y = √3 + 1
El perímetro del rectángulo será igual a la suma de todos los lados:
P = 2,2√3 + 2. (√3 + 1) = 4√3 + 2√3 + 2 = 6√3 + 2
Para encontrar el área, simplemente multiplica x.y:
A = 2√3. (√3 + 1) = 2√3 + 6
Por lo tanto, el perímetro y el área del rectángulo son, respectivamente, 6√3 + 2 y 2√3 + 6.
pregunta 5
(Aprendiz de marinero - 2016) Analiza la siguiente figura:
Sabiendo que EP es el radio del semicírculo central en E, como se muestra en la figura anterior, determine el valor del área más oscura y marque la opción correcta. Datos: número π = 3
a) 10 cm2
b) 12 cm2
c) 18 cm2
d) 10 cm2
e) 24 cm2
Alternativa correcta: b) 12 cm2.
El área más oscura se encuentra sumando el área de la semicircunferencia al área del triángulo ABD. Comencemos calculando el área del triángulo, para eso, tenga en cuenta que el triángulo es un rectángulo.
Llamemos al lado AD de x y calculemos su medida usando el teorema de Pitágoras, como se indica a continuación:
52= x2 + 32
X2 = 25 - 9
x = √16
x = 4
Conociendo la medida del lado AD, podemos calcular el área del triángulo:
Aún necesitamos calcular el área de la semicircunferencia. Tenga en cuenta que su radio será igual a la mitad de la medida en el lado AD, por lo que r = 2 cm. El área de semicircunferencia será igual a:
El área más oscura se encontrará haciendo: AT = 6 + 6 = 12 cm2
Por lo tanto, el valor del área más oscura es de 12 cm.2.
pregunta 6
(Enem - 2016) Un hombre, padre de dos hijos, quiere comprar dos terrenos, con áreas de la misma medida, uno para cada niño. Uno de los terrenos visitados ya está demarcado y, aunque no tiene un formato convencional (como se muestra en la Figura B), agradó al hijo mayor y, por lo tanto, fue comprado. El hijo menor tiene un proyecto arquitectónico para una casa que quiere construir, pero para eso necesita de un terreno en forma rectangular (como se muestra en la Figura A) cuya longitud es 7 m más larga que la ancho.
Para satisfacer al hijo menor, este señor necesita encontrar un terreno rectangular cuyas medidas, en metros, de largo y de ancho sean iguales, respectivamente, a
a) 7,5 y 14,5
b) 9.0 y 16.0
c) 9.3 y 16.3
d) 10.0 y 17.0
e) 13,5 y 20,5
Alternativa correcta: b) 9.0 y 16.0.
Dado que el área de la figura A es igual al área de la figura B, primero calculemos esta área. Para esto, dividamos la Figura B, como se muestra a continuación:
Tenga en cuenta que al dividir la figura, tenemos dos triángulos rectángulos. Por lo tanto, el área de la figura B será igual a la suma de las áreas de estos triángulos. Calculando estas áreas, tenemos:
Dado que la figura A es un rectángulo, su área se encuentra haciendo:
LALA = x. (x + 7) = x2 + 7x
Al equiparar el área de la figura A con el valor encontrado para el área de la figura B, encontramos:
X2 + 7x = 144
X2 + 7x - 144 = 0
Resolvamos la ecuación de segundo grado usando la fórmula de Bhaskara:
Como una medida no puede ser negativa, consideremos que el valor es igual a 9. Por lo tanto, el ancho del terreno en la figura A será igual a 9 my la longitud será igual a 16 m (9 + 7).
Por lo tanto, las medidas de largo y ancho deben ser iguales a 9.0 y 16.0 respectivamente.
pregunta 7
(Enem - 2015) Una empresa de telefonía celular tiene dos antenas que serán reemplazadas por una nueva y más potente. Las áreas de cobertura de las antenas que serán reemplazadas son círculos con un radio de 2 km, cuyas circunferencias son tangentes al punto O, como se muestra en la figura.
El punto O indica la posición de la nueva antena, y su región de cobertura será un círculo cuya circunferencia será tangente externamente a las circunferencias de las áreas de cobertura más pequeñas. Con la instalación de la nueva antena, la medición del área de cobertura, en kilómetros cuadrados, se amplió en
a) 8 π
b) 12 π
c) 16 π
d) 32 π
e) 64 π
Alternativa correcta: a) 8 π.
La ampliación de la medición del área de cobertura se obtendrá disminuyendo las áreas de los círculos más pequeños del círculo más grande (refiriéndose a la nueva antena).
Como la circunferencia de la nueva región de cobertura toca externamente las circunferencias más pequeñas, su radio será igual a 4 km, como se indica en la siguiente figura:
Calculemos las áreas A1 y el2 de los círculos más pequeños y el área A3 del círculo más grande:
LA1 = A2 = 22. π = 4 π
LA3 = 42.π = 16 π
La medida del área ampliada se encontrará haciendo:
A = 16 π - 4 π - 4 π = 8 π
Por tanto, con la instalación de la nueva antena, la medida del área de cobertura, en kilómetros cuadrados, se incrementó en 8 π.
pregunta 8
(Enem - 2015) El diagrama I muestra la configuración de una cancha de baloncesto. Los trapezoides grises, llamados garrafones, corresponden a áreas restringidas.
Con el objetivo de cumplir con las directrices del Comité Central de la Federación Internacional de Baloncesto (Fiba) en 2010, que unificó las marcas de las diferentes aleaciones, se preveía una modificación en las bombonas de las canchas, que se convertirían en rectángulos, como se muestra en el Esquema II.
Luego de realizar los cambios previstos, hubo un cambio en el área ocupada por cada garrafón, que corresponde a un (a)
a) aumento de 5800 cm2.
b) 75 400 cm de aumento2.
c) aumento de 214600 cm2.
d) disminución de 63800 cm2.
e) disminución de 272600 cm2.
Alternativa correcta: a) aumento de 5800 cm².
Para averiguar cuál fue el cambio en el área ocupada, calculemos el área antes y después del cambio.
En el cálculo del esquema I, usaremos la fórmula para el área del trapecio. En el diagrama II, usaremos la fórmula para el área del rectángulo.
El cambio de área será entonces:
A = AII - AI
A = 284200 - 278400 = 5800 cm2
Por tanto, luego de realizar las modificaciones previstas, se produjo un cambio en el área ocupada por cada garrafón, lo que corresponde a un aumento de 5800 cm².
Ejercicios propuestos (con resolución)
pregunta 9
Ana decidió construir una piscina rectangular en su casa de 8 m de base por 5 m de alto. Todo a su alrededor, con forma de trapecio, estaba lleno de hierba.
Sabiendo que la altura del trapecio es de 11 my sus bases son de 20 my 14 m, ¿cuál es el área de la parte que se llenó de pasto?
a) 294 m2
b) 153 m2
c) 147 m2
d) 216 m2
Alternativa correcta: c) 147 m2.
Como el rectángulo, que representa la piscina, se inserta dentro de una figura más grande, el trapecio, comencemos calculando el área de la figura externa.
El área del trapezoide se calcula mediante la fórmula:
Dónde,
B es la medida de la base más grande;
b es la medida de la base más pequeña;
h es la altura.
Sustituyendo los datos de la declaración en la fórmula, tenemos:
Ahora, calculemos el área del rectángulo. Para eso, solo necesitamos multiplicar la base por la altura.
Para encontrar el área cubierta por césped, debemos restar el espacio ocupado por la piscina del área del trapecio.
Por lo tanto, el área llena de césped fue de 147 m.2.
vea también: Área de trapecio
pregunta 10
Para renovar el techo de su almacén, Carlos decidió comprar tejas coloniales. Con este tipo de techo se necesitan 20 piezas por cada metro cuadrado de techo.
Si el techo del lugar está formado por dos placas rectangulares, como en la figura de arriba, ¿cuántas tejas necesita comprar Carlos?
a) 12000 tejas
b) 16000 tejas
c) 18000 tejas
d) 9600 tejas
Alternativa correcta: b) 16000 baldosas.
El techo del almacén está formado por dos placas rectangulares. Por tanto, debemos calcular el área de un rectángulo y multiplicar por 2.
Por lo tanto, el área total del techo es de 800 m.2. Si cada metro cuadrado necesita 20 tejas, usando una simple regla de tres calculamos cuántas tejas llenan el techo de cada almacén.
Por lo tanto, será necesario comprar 16 mil azulejos.
vea también: Área de rectángulo
pregunta 11
A Marcia le gustaría que dos jarrones de madera idénticos decoraran la entrada de su casa. Como solo podía comprar uno de sus favoritos, decidió contratar a un ebanista para que le construyera otro jarrón de las mismas dimensiones. El jarrón debe tener cuatro lados en forma de trapecio isósceles y la base es un cuadrado.
Sin tener en cuenta el grosor de la madera, ¿cuántos metros cuadrados de madera se necesitarán para reproducir la pieza?
a) 0,2131 m2
b) 0,1311 m2
c) 0,2113 m2
d) 0,3121 m2
Alternativa correcta: d) 0.3121 m2.
Un trapecio isósceles es el tipo que tiene lados iguales y bases de diferentes tamaños. De la imagen, tenemos las siguientes medidas del trapecio a cada lado del vaso:
Base más pequeña (b): 19 cm;
Base más grande (B): 27 cm;
Altura (h): 30 cm.
Con los valores en la mano, calculamos el área del trapecio:
Como la vasija está formada por cuatro trapecios, necesitamos multiplicar el área encontrada por cuatro.
Ahora tenemos que calcular la base del jarrón, que está formado por un cuadrado de 19 cm.
Sumando las áreas calculadas llegamos al área total de madera que se utilizará para construir.
Sin embargo, el área debe presentarse en metros cuadrados.
Por tanto, sin tener en cuenta el grosor de la madera, se necesitaron 0,3121 m2 de material para fabricar el jarrón.
vea también: Área cuadrada
pregunta 12
Para facilitar el cálculo de cuántas personas participan en eventos públicos, generalmente se considera que un metro cuadrado lo ocupan cuatro personas.
Para celebrar el aniversario de una ciudad, el gobierno de la ciudad contrató a una banda para tocar en la plaza ubicada en el centro, la cual tiene un área de 4000 m2. Sabiendo que la plaza estaba abarrotada, ¿aproximadamente cuántas personas asistieron al evento?
a) 16 mil personas.
b) 32 mil personas.
c) 12 mil personas.
d) 40 mil personas.
Alternativa correcta: a) 16 mil personas.
Un cuadrado tiene cuatro lados iguales y su área se calcula mediante la fórmula: A = L x L.
si en 1 m2 está ocupado por cuatro personas, por lo que 4 veces el área total del cuadrado nos da la estimación de personas que asistieron al evento.
Así, 16 mil personas participaron en el evento promovido por la alcaldía.
Para obtener más información, consulte también:
- Áreas de figuras planas
- Formas geometricas
- Teorema de Pitágoras - Ejercicios