Estudia con los ejercicios resueltos de seno, coseno y tangente. Practica y despeja tus dudas con los ejercicios comentados.
Pregunta 1
Determina los valores de x e y en el siguiente triángulo. Considere sen 37º = 0,60, coseno de 37º = 0,79 y tan 37º = 0,75.
Respuesta: y = 10,2 m y x = 13,43 m
Para determinar y usamos el seno de 37º, que es la razón del cateto opuesto a la hipotenusa. Vale recordar que la hipotenusa es el segmento opuesto al ángulo de 90º, por lo que vale 17 m.
Para determinar x podemos usar el coseno de 37º, que es la razón entre el lado adyacente al ángulo de 37º y la hipotenusa.
Pregunta 2
En el siguiente triángulo rectángulo, determine el valor del ángulo , en grados, y su seno, coseno y tangente.
Considerar:
sen 28º = 0,47
cos 28º = 0,88
Respuesta: ,
En un triángulo la suma de los ángulos interiores es igual a 180°. Al ser un triángulo rectángulo hay un ángulo de 90º, por lo que quedan otros 90º para los dos ángulos.
De esta manera tenemos:
Como estos ángulos son complementarios (de uno de ellos, el otro es cuánto falta para completar los 90º), es válido que:
cos 62º = sen 28º = 0,47
y
sen 62º = cos 28º = 0,88
Cálculo de tangente
La tangente es la razón del seno al coseno.
Pregunta 3
En un momento determinado de un día soleado, se proyecta la sombra de una casa de 23 metros. Este sobrante hace 45º con relación al suelo. De esta manera, determine la altura de la casa.
Respuesta: La altura de la casa es de 23 m.
Para determinar una altura, conociendo el ángulo de inclinación, usamos la tangente del ángulo de 45°.
La tangente de 45° es igual a 1.
La casa y la sombra en el suelo son los catetos de un triángulo rectángulo.
Así, la altura de la casa es de 23 m.
pregunta 4
Un topógrafo es un profesional que utiliza conocimientos matemáticos y geométricos para tomar medidas y estudiar una superficie. Utilizando un teodolito, herramienta que, entre otras funciones, mide ángulos, posicionado a 37 metros de un edificio, encontró un ángulo de 60° entre un plano paralelo al suelo y la altura del edificio. Si el teodolito estaba en un trípode a 180 cm del suelo, determine la altura del edificio en metros.
considerar
Respuesta: La altura del edificio es de 65,81 m.
Haciendo un croquis de la situación tenemos:
Así, la altura del edificio se puede determinar utilizando la tangente de 60º, desde la altura donde se encuentra el teodolito, sumando el resultado con 180 cm o, 1,8 m, según sea la altura a la que se encuentra del suelo.
La tangente de 60° es igual a .
Altura desde el teodolito
Altura total
64,01 + 1,8 = 65,81 metros
La altura del edificio es de 65,81 m.
pregunta 5
Determinar el perímetro del pentágono.
Considerar:
sen 67° = 0,92
cos 67° = 0,39
bronceado 67° = 2,35
Respuesta: El perímetro es 219,1 m.
El perímetro es la suma de los lados del pentágono. Como hay una parte rectangular que mide 80 m, el lado opuesto también tiene 80 m de largo.
El perímetro está dado por:
PAG = 10 + 80 + 80 + un + segundo
P = 170 + un + segundo
Siendo Los, paralela a la línea discontinua azul, podemos determinar su longitud usando la tangente de 67°.
Para determinar el valor de b, usamos el coseno de 67°
Entonces el perímetro es:
P = 170 + 23,5 + 25,6 = 219,1 m
pregunta 6
Encuentra el seno y el coseno de 1110°.
Considerando el círculo trigonométrico tenemos que una vuelta completa tiene 360°.
Cuando dividimos 1110° por 360° obtenemos 3.0833.... Esto significa 3 vueltas completas y un poco más.
Tomando 360° x 3 = 1080° y restando de 1110 tenemos:
1110° - 1080° = 30°
Considerando el sentido antihorario como positivo, después de tres vueltas completas volvemos al principio, 1080° o 0°. Desde este punto avanzamos otros 30°.
Entonces el seno y el coseno de 1110° son iguales al seno y el coseno de 30°
pregunta 7
(CEDERJ 2021) Estudiando para un examen de trigonometría, Júlia aprendió que sen² 72° es igual a
1 - cos² 72°.
cos² 72° - 1.
tg² 72° - 1.
1 - tg² 72º.
La relación fundamental de la trigonometría dice que:
Donde x es el valor del ángulo.
Tomando x = 72º y aislando el seno, tenemos:
pregunta 8
Las rampas son una buena manera de garantizar la accesibilidad para usuarios de sillas de ruedas y personas con movilidad reducida. La accesibilidad a los edificios, mobiliario, espacios y equipamientos urbanos está garantizada por ley.
La Asociación Brasileña de Normas Técnicas (ABNT), de conformidad con la Ley Brasileña para la Inclusión de Personas con Discapacidad (13.146/2015), regula la construcción y define la pendiente de las rampas, así como los cálculos para su construcción. Las pautas de cálculo de la ABNT indican un límite máximo de pendiente de 8,33% (relación 1:12). Esto significa que una rampa, para salvar un desnivel de 1 m, debe tener al menos 12 m de largo y esto define que el ángulo de la pendiente de la rampa, con relación al plano horizontal, no puede ser mayor que 7°.
De acuerdo con la información anterior, para que una rampa, con una longitud igual a 14 m y una inclinación de 7º en en relación al avión, está dentro de las normas de la ABNT, debe servir para salvar un desnivel con una altura máxima de
Uso: sen 7th = 0.12; cos 7º = 0,99 y tan 7º = 0,12.
a) 1,2 m.
b) 1,32 m.
c) 1,4 m.
d) 1,56 m.
e) 1,68 m.
La rampa forma un triángulo rectángulo donde la longitud es de 14 m, formando un ángulo de 7º con relación a la horizontal, donde la altura es el lado opuesto al ángulo.
Usando el seno de 7°:
La altura que debe alcanzar la rampa es de 1,68 m.
pregunta 9
(Unesp 2012) Se está construyendo un edificio hospitalario en un terreno inclinado. Para optimizar la construcción, el arquitecto responsable diseñó el estacionamiento en el sótano del edificio, con entrada desde la calle trasera del terreno. La recepción del hospital se encuentra a 5 metros sobre el nivel del estacionamiento, siendo necesaria la construcción de una rampa recta de acceso para pacientes con dificultades de movilidad. La figura representa esquemáticamente esta rampa (r), que conecta el punto A, en la planta de recepción, con el punto B, en la planta de aparcamiento, que debe tener una inclinación α mínima de 30º y máxima de 45º.
En estas condiciones y considerando , ¿cuáles deben ser los valores máximo y mínimo, en metros, de la longitud de esta rampa de acceso?
Respuesta: La longitud de la rampa de acceso será de 7 m mínimo y 10 m máximo.
El proyecto ya prevé y fija la altura en 5 m. Necesitamos calcular la longitud de la rampa, que es la hipotenusa del triángulo rectángulo, para los ángulos de 30° y 45°.
Para el cálculo se utilizó el seno del ángulo, siendo la relación entre el lado opuesto, 5m, y la hipotenusa r, que es la longitud de la rampa.
Para los ángulos notables 30° y 45° los valores del seno son:
para 30°
a 45°
racionalización
Sustituyendo el valor de
pregunta 10
(EPCAR 2020) Por la noche, un helicóptero de la Fuerza Aérea Brasileña sobrevuela una región plana y detecta un UAV (Air Vehicle No tripulado) de forma circular y altura despreciable, con un radio de 3 m estacionado paralelo al suelo a 30 m de altura.
El UAV se encuentra a una distancia y metros de un reflector instalado en el helicóptero.
El haz de luz del reflector que pasa por el UAV cae sobre la región plana y produce una sombra circular con centro O y radio R.
El radio R de la circunferencia de la sombra forma un ángulo de 60º con el haz de luz, como se ve en la siguiente figura.
En ese momento, una persona que se encuentra en el punto A de la circunferencia de la sombra corre hacia el punto O, a un pie de la perpendicular trazada desde el foco a la región plana.
La distancia, en metros, que esta persona recorre de A a O es un número entre
a) 18 y 19
b) 19 y 20
c) 20 y 21
d) 22 y 23
objetivo
Determinar la longitud del segmento. , radio del círculo de la sombra.
Datos
- La altura de O a UAV es de 30 m.
- El radio del UAV es de 3 m.
Usando la tangente de 60° determinamos la parte resaltada en rojo en la siguiente imagen:
Considerando la tangente de 60° = y siendo la tangente la razón entre el lado opuesto al ángulo y su lado adyacente, tenemos:
racionalización
La longitud AO es
acercándose al valor de
La medida aproximada del segmento AO es de 20,3 m, es decir, un valor entre 20 y 21.
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