O Teorema de pitágoras enumera la longitud de los lados del triángulo rectángulo. Esta figura geométrica está formada por un ángulo interno de 90 °, llamado ángulo recto.
El enunciado de este teorema es:
"La suma de los cuadrados de tus catetos corresponde al cuadrado de tu hipotenusa."
Fórmula del teorema de Pitágoras
Según el enunciado del Teorema de Pitágoras, la fórmula se representa de la siguiente manera:
La2 = b2 + c2
Ser,
La: hipotenusa
B: cateto
C: cateto
LA hipotenusa es el lado más largo de un triángulo rectángulo y el lado opuesto al ángulo recto. Los otros dos lados son las piernas. El ángulo formado por estos dos lados tiene una medida igual a 90º (ángulo recto).
También identificamos las piernas, según un ángulo de referencia. Es decir, el lado se puede llamar lado adyacente o lado opuesto.
Cuando el cateto está cerca del ángulo de referencia, se llama adyacente, por otro lado, si está en contra de este ángulo, se llama opuesto.
A continuación se muestran tres ejemplos de aplicaciones del teorema de Pitágoras a las relaciones métricas de un triángulo rectángulo.
Ejemplo 1: calcula la medida de la hipotenusa
Si un triángulo rectángulo tiene 3 cm y 4 cm como medidas de los catetos, ¿cuál es la hipotenusa de este triángulo?
Por lo tanto, los lados del triángulo rectángulo son 3 cm, 4 cm y 5 cm.
Ejemplo 2: calcula la medida de una de las piernas
Determina la medida de un cateto que forma parte de un triángulo rectángulo, cuya hipotenusa mide 20 cm y el otro cateto mide 16 cm.
Por lo tanto, las medidas de los lados del triángulo rectángulo son 12 cm, 16 cm y 20 cm.
Ejemplo 3: comprueba si un triángulo es un rectángulo
Un triángulo tiene lados que miden 5 cm, 12 cm y 13 cm. ¿Cómo saber si es un triángulo rectángulo?
Para probar que un triángulo rectángulo es verdadero, las medidas de sus lados deben obedecer el Teorema de Pitágoras.
Como las medidas dadas satisfacen el teorema de Pitágoras, es decir, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma del cuadrado de los catetos, entonces podemos decir que el triángulo es un rectángulo.
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Triángulo de Pitágoras
Cuando mide los lados de un triángulo rectángulo son números enteros positivos, el triángulo se llama triángulo pitagórico.
En este caso, las piernas y la hipotenusa se denominan “traje pitagórico” o “trío pitagórico”. Para comprobar si tres números forman un trío pitagórico, usamos la relación con2 = b2 + c2.
El trío pitagórico más conocido está representado por los números: 3, 4, 5. La hipotenusa es igual a 5, el cateto mayor es igual a 4 y el cateto más pequeño es igual a 3.
Tenga en cuenta que el área de los cuadrados dibujados en cada lado del triángulo están relacionados como el Teorema de Pitágoras: el área del cuadrado en el lado largo corresponde a la suma de las áreas de los otros dos cuadrado.
Curiosamente, los múltiplos de estos números también forman un traje pitagórico. Por ejemplo, si multiplicamos el trío 3, 4 y 5 por 3, obtenemos los números 9, 12 y 15 que también forman un palo pitagórico.
Además del traje 3, 4 y 5, hay multitud de otros trajes. Como ejemplo, podemos mencionar:
- 5, 12 y 13
- 7, 24, 25
- 20, 21 y 29
- 12, 35 y 37
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¿Quién fue Pitágoras?
según la historia Pitágoras de Samos (570 a. C. - 495 a. C.) fue un filósofo y matemático griego que fundó la Escuela de Pitágoras, ubicada en el sur de Italia. También llamada Sociedad Pitagórica, incluía estudios en Matemáticas, Astronomía y Música.
Aunque las relaciones métricas del triángulo rectángulo ya eran conocidas por los babilonios, que vivieron mucho antes de Pitágoras, la primera prueba de que este teorema aplicado a cualquier triángulo rectángulo se cree que fue hecha por Pitágoras.
El Teorema de Pitágoras es uno de los teoremas más conocidos, más importantes y utilizados en matemáticas. Es fundamental en la resolución de problemas de geometría analítica, geometría plana, geometría espacial y trigonometría.
Además del teorema, otras contribuciones importantes de la Sociedad Pitágoras de Matemáticas fueron:
- Descubrimiento de números irracionales;
- Propiedades de los números enteros;
- MMC y MDC.
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Pruebas del teorema de Pitágoras
Hay varias formas de probar el teorema de Pitágoras. Por ejemplo, el libro La propuesta pitagórica, publicado en 1927, presentó 230 formas de demostrarlo, y otra edición, lanzada en 1940, aumentó a 370 demostraciones.
Mire el video a continuación y vea algunas demostraciones del Teorema de Pitágoras.
Ejercicios comentados sobre el teorema de Pitágoras
Pregunta 1
(PUC) La suma de los cuadrados de los tres lados de un triángulo rectángulo es 32. ¿Cuánto mide la hipotenusa del triángulo?
a) 3
b) 4
c) 5
d) 6
Alternativa correcta: b) 4.
De la información en la declaración, sabemos que el2 + b2 + c2 = 32. Por otro lado, por el teorema de Pitágoras tenemos que2 = b2 + c2 .
Reemplazando el valor de b2+ c2 por el2 en la primera expresión, encontramos:
La2 + el2 =32 ⇒ 2. La2 = 32 ⇒ hasta2 = 32/2 ⇒ hasta2 = 16 ⇒ a = √ 16
a = 4
Para más preguntas, consulte: Teorema de Pitágoras - Ejercicios
Pregunta 2
(Y también)
En la figura anterior, que representa el diseño de una escalera con 5 peldaños de la misma altura, la longitud total del pasamanos es igual a:
a) 1,9 m
b) 2,1 millones
c) 2,0 m
d) 1,8 m
e) 2,2 m
Alternativa correcta: b) 2,1 m.
La longitud total del pasamanos será igual a la suma de los dos tramos de longitud igual a 30 cm con el tramo cuya medida desconocemos.
Podemos observar en la figura que la sección desconocida representa la hipotenusa de un triángulo rectángulo, cuya medida de uno de los catetos es igual a 90 cm.
Para encontrar la medida del otro cateto, debemos sumar la longitud de los 5 pasos. Por lo tanto, tenemos b = 5. 24 = 120 cm.
Para calcular la hipotenusa, apliquemos el teorema de Pitágoras a este triángulo.
La2 = 902 + 1202 a2 = 8100 + 14 400 ⇒ hasta2 = 22 500 ⇒ a = √ 22 500 = 150 cm
Tenga en cuenta que podríamos haber usado la idea de los palos pitagóricos para calcular la hipotenusa, ya que las piernas (90 y 120) son múltiplos de los palos 3, 4 y 5 (multiplicando todos los términos por 30).
De esta forma, la medida total del pasamanos será:
30 + 30 + 150 = 210 cm = 2,1 m
Pon a prueba tus conocimientos con Ejercicios de trigonometría
Pregunta 3
(UERJ) Millôr Fernandes, en un hermoso homenaje a las Matemáticas, escribió un poema del que extraemos el siguiente fragmento:
A tantas hojas de un libro de Matemáticas,
un cociente se enamoró un día salvajemente
por un desconocido.
La miró con su innumerable mirada
y la vio desde el ápice hasta la base: una figura extraña;
ojos romboides, boca trapezoidal,
cuerpo rectangular, pechos esferoides.
Hizo tu vida paralela a la de ella
hasta que se conocieron en Infinity.
"¿Quién eres tú?" - preguntó con ansiedad radical.
“Soy la suma de los cuadrados de las piernas.
Pero puedes llamarme hipotenusa.”
(Millôr Fernandes. Treinta años de mí mismo.)
Incognita se equivocó al decir quién era. Para cumplir con el teorema de Pitágoras, se debe hacer lo siguiente
a) “Soy el cuadrado de la suma de los catetos. Pero llámame el cuadrado de la hipotenusa ".
b) “Soy la suma de las piernas. Pero puedes llamarme hipotenusa ".
c) “Soy el cuadrado de la suma de los catetos. Pero puedes llamarme hipotenusa ".
d) “Soy la suma de los cuadrados de los catetos. Pero llámame el cuadrado de la hipotenusa ".
Alternativa d) “Soy la suma de los cuadrados de los catetos. Pero llámame el cuadrado de la hipotenusa ".
Más información sobre el tema:
- triángulo isósceles
- Seno, coseno y tangente
- Matemáticas en Enem
