El mmc y el mdc representan, respectivamente, el mínimo común múltiplo y el mayor común divisor entre dos o más números.
No pierdas la oportunidad de aclarar todas tus dudas a través de los ejercicios comentados y resueltos que te presentamos a continuación.
Ejercicios propuestos
Ejercicio 1
En relación con los números 12 y 18, determine sin considerar 1.
a) Los divisores de 12.
b) Los divisores de 18.
c) Los divisores comunes de 12 y 18.
d) El máximo común divisor de 12 y 18.
a) 2, 3, 4, 6 y 12.
b) 2, 3, 6, 9, 18.
c) 2, 3 y 6
d) 6
Ejercicio 2
Calcule la MMC y la MDC entre 36 y 44.
Ejercicio 3
Considere un número x, natural. Luego, clasifique las afirmaciones como verdaderas o falsas y justifíquelas.
a) El máximo común divisor de 24 yx puede ser 7.
b) El máximo común divisor de 55 y 15 puede ser 5.
a) No, porque 7 no es divisor de 24.
b) Sí, ya que 5 es un divisor común entre 55 y 15.
Ejercicio 4
En una presentación para el lanzamiento del nuevo auto de carreras del equipo TodaMatéria, se realizó una carrera inusual. Participaron tres vehículos: el coche de lanzamiento, el coche de la temporada pasada y un coche de pasajeros normal.
El circuito es ovalado, los tres empezaron juntos y mantuvieron velocidades constantes. El coche de lanzamiento tarda 6 minutos en completar una vuelta. El automóvil de la temporada pasada tarda 9 minutos en completar una vuelta y el automóvil de pasajeros tarda 18 minutos en completar una vuelta.
Una vez que comience la carrera, ¿cuánto tiempo les llevará volver a pasar juntos por el mismo punto de partida?
Para determinarlo es necesario calcular el mmc (6, 9, 18).
Así que volvieron a pasar por el mismo punto de partida 18 minutos después.
Ejercicio 5
En una confección, hay rollos de malla de 120, 180 y 240 centímetros. Deberá cortar la tela en trozos iguales, lo más grandes posible, y no quedará nada. ¿Cuál será la longitud máxima de cada tira de malla?
Para determinarlo, debemos calcular el mdc (120,180,240).
La longitud máxima posible, sin voladizos, será de 60 cm.
Ejercicio 6
Determine el MMC y el MDC a partir de los siguientes números.
a) 40 y 64
Respuesta correcta: mmc = 320 y mdc = 8.
Para encontrar mmc y mdc, el método más rápido es dividir los números simultáneamente por los números primos más pequeños posibles. Vea abajo.
Tenga en cuenta que mmc se calcula multiplicando los números utilizados en la factorización y mcd se calcula multiplicando los números que dividen los dos números simultáneamente.
b) 80, 100 y 120
Respuesta correcta: mmc = 1200 y mdc = 20.
La descomposición simultánea de los tres números nos dará el mmc y mdc de los valores presentados. Vea abajo.
La división por números primos nos dio el resultado de mmc al multiplicar los factores y mdc al multiplicar los factores que dividen los tres números simultáneamente.
Ejercicio 7
Usando la factorización prima, determine: ¿cuáles son los dos números consecutivos cuyo mmc es 1260?
a) 32 y 33
b) 33 y 34
c) 35 y 36
d) 37 y 38
Alternativa correcta: c) 35 y 36.
Primero, debemos factorizar el número 1260 y determinar los factores primos.
Al multiplicar los factores, encontramos que los números consecutivos son 35 y 36.
Como prueba, calculemos el mmc de los dos números.
Ejercicio 8
Se llevará a cabo una búsqueda del tesoro con estudiantes de tres clases de sexto, séptimo y octavo grado para celebrar el Día del Estudiante. Vea a continuación el número de estudiantes en cada clase.
| Clase | 6º | 7º | 8º |
| Numero de estudiantes | 18 | 24 | 36 |
Determinar mediante el mdc el número máximo de alumnos de cada clase que pueden participar en la competición como parte de un equipo.
Después de eso, responde: ¿cuántos equipos se pueden formar en las clases 6, 7 y 8, respectivamente, con el número máximo de participantes por equipo?
a) 3, 4 y 5
b) 4, 5 y 6
c) 2, 3 y 4
d) 3, 4 y 6
Alternativa correcta: d) 3, 4 y 6.
Para responder a esta pregunta, debemos comenzar por factorizar los valores dados en números primos.
Por tanto, encontramos el número máximo de alumnos por equipo y, de esta forma, cada clase tendrá:
6to año: 6/18 = 3 equipos
7mo año: 6/24 = 4 equipos
8vo año: 36/6 = 6 equipos
Exámenes de ingreso resueltos
Pregunta 1
(Aprendiz de marinero - 2016) Sea A = 120, B = 160, x = mmc (A, B) e y = mdc (A, B), entonces el valor de x + y es igual a:
a) 460
b) 480
c) 500
d) 520
e) 540
Alternativa correcta: d) 520.
Para encontrar el valor de la suma de xey, primero es necesario encontrar estos valores.
De esta manera, vamos a factorizar los números en factores primos y luego calcularemos el mmc y el mdc entre los números dados.
Ahora que conocemos el valor de x (mmc) e y (mdc), podemos encontrar la suma:
x + y = 480 + 40 = 520
Alternativa: d) 520
Pregunta 2
(Unicamp - 2015) La siguiente tabla informa algunos valores nutricionales para la misma cantidad de dos alimentos, A y B.
Considere dos porciones isocalóricas (del mismo valor energético) de los alimentos A y B. La relación entre la cantidad de proteína en A y la cantidad de proteína en B es igual a
a) 4.
b) 6.
c) 8.
d) 10.
Alternativa correcta: c) 8.
Para encontrar las porciones isocalóricas de los alimentos A y B, calculemos el mmc entre los valores energéticos respectivos.
Entonces, debemos considerar la cantidad necesaria de cada alimento para obtener el valor calórico.
Considerando el alimento A, para tener un valor calórico de 240 Kcal, es necesario multiplicar las calorías iniciales por 4 (60. 4 = 240). Para el alimento B, es necesario multiplicar por 3 (80. 3 = 240).
Así, la cantidad de proteína en el alimento A se multiplicará por 4 y la del alimento B por 3:
Comida A: 6. 4 = 24 g
Comida B: 1. 3 = 3 g
Así, tenemos que la relación entre estas cantidades vendrá dada por:
Alternativa: c) 8
Pregunta 3
(UERJ - 2015) En la siguiente tabla, se indican tres posibilidades para organizar n cuadernos en paquetes:
Si n es menor que 1200, la suma de los dígitos del valor más grande de n es:
a) 12
b) 17
c) 21
d) 26
Alternativa correcta: b) 17.
Considerando los valores reportados en la tabla, tenemos las siguientes relaciones:
n = 12. x + 11
n = 20. y + 19
n = 18. z + 17
Tenga en cuenta que si agregamos 1 libro al valor de n, ya no tendríamos un resto en las tres situaciones, ya que formaríamos otro paquete:
n + 1 = 12. x + 12
n + 1 = 20. x + 20
n + 1 = 18. x + 18
Por lo tanto, n + 1 es un múltiplo común de 12, 18 y 20, por lo que si encontramos el mmc (que es el mínimo común múltiplo), podemos, a partir de ahí, encontrar el valor de n + 1.
Calcular el mmc:
Entonces, el valor más pequeño de n + 1 será 180. Sin embargo, queremos encontrar el valor más grande de n menor que 1200. Así que busquemos un múltiplo que satisfaga estas condiciones.
Para ello, multipliquemos 180 hasta encontrar el valor deseado:
180. 2 = 360
180. 3 = 540
180. 4 = 720
180. 5 = 900
180. 6 = 1 080
180. 7 = 1260 (este valor es mayor que 1200)
Entonces podemos calcular el valor de n:
n + 1 = 1080
n = 1080 - 1
n = 1079
La suma de sus cifras vendrá dada por:
1 + 0 + 7 + 9 = 17
Alternativa: b) 17
vea también: MMC y MDC
pregunta 4
(Enem - 2015) Un arquitecto está renovando una casa. Para contribuir al medio ambiente, decide reutilizar los tablones de madera sacados de la casa. Tiene 40 tablas de 540 cm, 30 de 810 cm y 10 de 1080 cm, todas del mismo ancho y grosor. Pidió a un carpintero que cortara las tablas en trozos de igual longitud, sin dejar sobras, y para que las nuevas piezas fueran lo más grandes posible, pero más cortas en longitud que 2 m.
En respuesta a la solicitud del arquitecto, el carpintero debe producir
a) 105 piezas.
b) 120 piezas.
c) 210 piezas.
d) 243 piezas.
e) 420 piezas.
Alternativa correcta: e) 420 piezas.
Como se pide que las piezas tengan la misma longitud y el mayor tamaño posible, calcularemos el mdc (máximo común divisor).
Calculemos el mdc entre 540, 810 y 1080:
Sin embargo, el valor encontrado no se puede utilizar, ya que existe una restricción para que la longitud sea inferior a 2 m.
Entonces, dividamos 2.7 entre 2, ya que el valor encontrado también será un divisor común de 540, 810 y 1080, ya que 2 es el factor primo común más pequeño de estos números.
Entonces, la longitud de cada pieza será igual a 1,35 m (2,7: 2). Ahora necesitamos calcular cuántas piezas tendremos de cada tablero. Para ello haremos:
5.40: 1.35 = 4 piezas
8.10: 1.35 = 6 piezas
10.80: 1.35 = 8 piezas
Considerando la cantidad de cada tablero y sumando, tenemos:
40. 4 + 30. 6 + 10. 8 = 160 + 180 + 80 = 420 piezas
Alternativa: e) 420 piezas
pregunta 5
(Enem - 2015) El director de un cine ofrece anualmente entradas gratuitas a las escuelas. Este año se repartirán 400 entradas para una sesión vespertina y 320 entradas para una sesión vespertina de la misma película. Se pueden elegir varias escuelas para recibir boletos. Existen algunos criterios para la distribución de entradas:
- cada escuela debe recibir boletos para una sola sesión;
- todas las escuelas elegibles deben recibir la misma cantidad de boletos;
- no habrá boletos sobrantes (es decir, se distribuirán todos los boletos).
El número mínimo de escuelas que se pueden elegir para obtener las entradas, según los criterios establecidos, es
a) 2.
b) 4.
c) 9.
d) 40.
e) 80.
Alternativa correcta: c) 9.
Para conocer el número mínimo de colegios, necesitamos conocer el número máximo de entradas que puede recibir cada colegio, considerando que este número debe ser igual en ambas sesiones.
De esta forma calcularemos el mdc entre 400 y 320:
El valor mdc encontrado representa la mayor cantidad de boletos que recibirá cada escuela, por lo que no quedan sobras.
Para calcular el número mínimo de escuelas que se pueden elegir, también debemos dividir la cantidad de boletos para cada sesión por la cantidad de boletos que recibirá cada escuela, así tenemos:
400: 80 = 5
320: 80 = 4
Por tanto, el número mínimo de escuelas será igual a 9 (5 + 4).
Alternativa: c) 9.
pregunta 6
(Cefet / RJ - 2012) ¿Cuál es el valor de la expresión numérica? ?
a) 0,2222
b) 0,2323
c) 0,2332
d) 0.3222
Alternativa correcta: a) 0.2222
Para encontrar el valor de la expresión numérica, el primer paso es calcular el mmc entre los denominadores. Así:
El mmc encontrado será el nuevo denominador de las fracciones.
Sin embargo, para no cambiar el valor de la fracción, debemos multiplicar el valor de cada numerador por el resultado de dividir el mmc por cada denominador:
Resolviendo la suma y la división, tenemos:
Alternativa: a) 0.2222
pregunta 7
(EPCAR - 2010) Un agricultor plantará frijoles en una cama recta. Para ello, comenzó a marcar los lugares donde plantaría las semillas. La siguiente figura indica los puntos ya marcados por el agricultor y las distancias, en cm, entre ellos.
Este agricultor luego marcó otros puntos entre los existentes, de modo que la distancia D entre todos ellos fue el mismo y el más grande posible. Si X representa el número de veces la distancia D fue obtenido por el agricultor, por lo que X es un número divisible por
a) 4
b) 5
c) 6
d) 7
Alternativa correcta: d) 7.
Para resolver la pregunta, necesitamos encontrar un número que divida los números presentados al mismo tiempo. Como se pide que la distancia sea lo más lejana posible, calculemos el mdc entre ellos.
De esta forma, la distancia entre cada punto será igual a 5 cm.
Para encontrar el número de veces que se repitió esta distancia, dividamos cada segmento original por 5 y agreguemos los valores encontrados:
15: 5 = 3
70: 5 = 14
150: 5 = 30
500: 5 = 100
x = 3 + 14 + 30 + 100 = 147
El número encontrado es divisible por 7, ya que 21,7 = 147
Alternativa: d) 7
vea también: Múltiplos y divisores
