LA semejanza triangular se usa para encontrar la medida desconocida de un triángulo al conocer las medidas de otro triángulo.
Cuando dos triángulos son similares, las medidas de sus lados correspondientes son proporcionales. Esta relación se usa para resolver muchos problemas de geometría.
Así que aprovecha los ejercicios comentados y resueltos para resolver todas tus dudas.
Problemas resueltos
1) Aprendiz de marinero - 2017
Ver la figura a continuación
Un edificio proyecta una sombra de 30 m de largo en el suelo en el mismo instante en que una persona de 6 m de altura proyecta una sombra de 2.0 m. Se puede decir que la altura del edificio vale
a) 27 m
b) 30 m
c) 33 m
d) 36 m
e) 40 m
Podemos considerar que el edificio, su sombra proyectada y el rayo de sol forman un triángulo. Asimismo, también tenemos un triángulo formado por la persona, su sombra y el rayo de sol.
Considerando que los rayos del sol son paralelos y que el ángulo entre el edificio y el suelo y la persona es el suelo es igual a 90º, los triángulos, indicados en la figura siguiente, son similares (dos ángulos igual).
Dado que los triángulos son similares, podemos escribir la siguiente proporción:
Alternativa: a) 27 m
2) Fuvest - 2017
En la figura, el rectángulo ABCD tiene lados de longitud AB = 4 y BC = 2. Sea M el punto medio del lado y N el punto medio del costado
. Los segmentos
interceptar el segmento
en los puntos E y F, respectivamente.
El área del triángulo AEF es igual a
El área del triángulo AEF se puede encontrar disminuyendo el área del triángulo ABE del área del triángulo AFB, como se muestra a continuación:
Comencemos por encontrar el área del triángulo AFB. Para ello, necesitamos averiguar el valor de la altura de este triángulo, ya que se conoce el valor base (AB = 4).
Tenga en cuenta que los triángulos AFB y CFN son similares en el sentido de que tienen dos ángulos iguales (caso AA), como se muestra en la siguiente figura:
Tracemos la altura H1, en relación con el lado AB, en el triángulo AFB. Como la medida del lado CB es igual a 2, podemos considerar que la altura relativa del lado NC en el triángulo FNC es igual a 2 - H1.
Entonces podemos escribir la siguiente proporción:
Conociendo la altura del triángulo, podemos calcular su área:
Para encontrar el área del triángulo ABE, también necesitará calcular su valor de altura. Para ello, utilizaremos el hecho de que los triángulos ABM y AOE, indicados en la figura siguiente, son similares.
Además, el triángulo OEB es un triángulo rectángulo y los otros dos ángulos son iguales (45º), por lo que es un triángulo isósceles. Por lo tanto, los dos catetos de este triángulo valen H2, como la imagen de abajo:
Por lo tanto, el lado AO del triángulo AOE es igual a 4 - H2. Con base en esta información, podemos indicar la siguiente proporción:
Conociendo el valor de la altura, ahora podemos calcular el área del triángulo ABE:
Así, el área del triángulo AFE será igual a:
Alternativa: d)
3) Cefet / MG - 2015
La siguiente ilustración representa una mesa de billar rectangular, con un ancho y largo igual a 1,5 y 2,0 m, respectivamente. Un jugador debe lanzar la bola blanca desde el punto B y golpear la bola negra en el punto P, sin golpear a ninguna de las otras, primero. Como la amarilla está en el punto A, este jugador lanzará la bola blanca al punto L, para que pueda rebotar y chocar con la negra.
Si el ángulo de la trayectoria de incidencia de la pelota en el lado de la mesa y el ángulo de rebote son iguales, como se muestra en la figura, entonces la distancia de P a Q, en cm, es aproximadamente
a) 67
b) 70
c) 74
d) 81
Los triángulos, marcados en rojo en la imagen de abajo, son similares, ya que tienen dos ángulos iguales (ángulo igual a α y ángulo igual a 90º).
Por tanto, podemos escribir la siguiente proporción:
Alternativa: a) 67
4) Colegio Militar / RJ - 2015
En un triángulo ABC, los puntos D y E pertenecen respectivamente a los lados AB y AC y son tales que DE / / BC. Si F es un punto de AB tal que EF / / CD y las medidas de AF y FD e son, respectivamente, 4 y 6, la medida del segmento DB es:
a) 15.
b) 10.
c) 20.
d) 16.
e) 36.
Podemos representar el triángulo ABC, como se muestra a continuación:
Dado que el segmento DE es paralelo a BC, entonces los triángulos ADE y ABC son similares en que sus ángulos son congruentes.
Entonces podemos escribir la siguiente proporción:
Los triángulos FED y DBC también son similares, ya que los segmentos FE y DC son paralelos. Por tanto, la siguiente proporción también es cierta:
Aislando la y en esta proporción, tenemos:
Reemplazando el valor de y en la primera igualdad:
Alternativa: a) 15
5) Epcar - 2016
Un terreno en forma de triángulo rectángulo se dividirá en dos lotes mediante una cerca hecha en la bisectriz de la hipotenusa, como se muestra en la figura.
Se sabe que los lados AB y BC de este terreno miden, respectivamente, 80 my 100 m. Por lo tanto, la relación entre el perímetro del lote I y el perímetro del lote II, en ese orden, es
Para averiguar la razón entre los perímetros, necesitamos conocer el valor de todos los lados de la figura I y la figura II.
Tenga en cuenta que la bisectriz de la hipotenusa divide el lado BC en dos segmentos congruentes, por lo que los segmentos CM y MB miden 50 m.
Dado que el triángulo ABC es un rectángulo, podemos calcular el lado AC usando el teorema de Pitágoras. Sin embargo, tenga en cuenta que este triángulo es un triángulo pitagórico.
Por lo tanto, la hipotenusa es igual a 100 (5. 20) y una de dos piernas igual a 80 (4.20), luego la otra pierna solo puede ser igual a 60 (3.20).
También identificamos que los triángulos ABC y MBP son similares (caso AA), ya que tienen un ángulo común y el otro igual a 90º.
Entonces, para encontrar el valor de x podemos escribir la siguiente proporción:
El valor de z se puede encontrar considerando la proporción:
También podemos encontrar el valor de y haciendo:
Ahora que conocemos todos los lados, podemos calcular los perímetros.
Perímetro de la Figura I:
Perímetro de la Figura II:
Por tanto, la relación entre los perímetros será igual a:
Alternativa: d)
6) Enem - 2013
El propietario de una finca quiere colocar una varilla de soporte para asegurar mejor dos postes con longitudes iguales a 6 my 4 m. La figura representa la situación real en la que los postes son descritos por los segmentos AC y BD y la varilla está representado por el segmento EF, todo perpendicular al suelo, que está indicado por el segmento de línea recta AB. Los segmentos AD y BC representan los cables de acero que se instalarán.
¿Cuál debería ser el valor de la longitud de la barra EF?
a) 1 m
b) 2 m
c) 2,4 m
d) 3 m
e) 2 metro
Para resolver el problema, llamemos a la altura del vástago como z y las mediciones de los segmentos AF y FB de X y y, respectivamente, como se muestra a continuación:
El triángulo ADB es similar al triángulo AEF en que ambos tienen un ángulo igual a 90 ° y un ángulo común, por lo que son similares en el caso AA.
Por tanto, podemos escribir la siguiente proporción:
Multiplicando "en una cruz", obtenemos igualdad:
6x = h (x + y) (I)
Por otro lado, los triángulos ACB y FEB también serán similares, por las mismas razones expuestas anteriormente. Entonces tenemos la proporción:
Resolviendo de la misma forma:
4y = h (x + y) (II)
Tenga en cuenta que las ecuaciones (I) y (II) tienen la misma expresión después del signo igual, por lo que podemos decir que:
6x = 4 años
Sustituyendo el valor de x en la segunda ecuación:
Alternativa: c) 2,4 m
7) Fuvest - 2010
En la figura, el triángulo ABC es rectangular con lados BC = 3 y AB = 4. Además, el punto D pertenece a la clavícula. , el punto E perteneciente a la clavícula
y el punto F pertenece a la hipotenusa
, de modo que DECF es un paralelogramo. Si
, por lo que el área del paralelogramo DECF vale
El área del paralelogramo se calcula multiplicando el valor base por la altura. Llamemos h la altura yx la medida base, como se muestra a continuación:
Dado que DECF es un paralelogramo, sus lados son paralelos de dos en dos. De esta forma, los lados AC y DE son paralelos. Entonces los ángulos son iguales.
Entonces podemos identificar que los triángulos ABC y DBE son similares (caso AA). También tenemos que la hipotenusa del triángulo ABC es igual a 5 (triángulo 3,4 y 5).
De esta forma, escribamos la siguiente proporción:
Para encontrar la medida x de la base, consideraremos la siguiente proporción:
Calculando el área del paralelogramo, tenemos:
Alternativa: a)
