O minimo común multiplo, denotado por MMC, de dos o más enteros positivos es el menor número distinto de cero que aparece en la lista de múltiplos de estos dos o más números al mismo tiempo.
Existe un método que facilita el cálculo del mínimo común múltiplo de un número y, para utilizarlo, es necesario recordar el descomposición de factores primos, formalmente conocido como el Teorema fundamental de la aritmética. Tal teorema nos asegura que todo número compuesto se puede escribir como un producto de factores primos.
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múltiplo común
Cuando tenemos dos o más números enteros positivos, es posible enumerar múltiplos de esos números. Al realizar este listado, notaremos que hay más de un múltiplo en común, es decir, múltiples que aparecen al mismo tiempo en todas las listas de estos números dados. Vea el ejemplo.
Ejemplo - Listado de los 10 primeros múltiplos de los números 2, 8, 10.
M (2) = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, ...}
M (8) = {8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80, ...}
M (10) = {10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100, ...}
Podemos ver más de un múltiplo común entre los números. Nótese que, entre M (2) y M (8), tenemos en común los números 8, 16, 24...; entre M (2) y M (10), tenemos los números 10, 20, 30,...; entre M (8) y M (10), tenemos los números 40, 80,... Estos números se llaman múltiplos comunes.
¿Cómo determinar la MMC?
Para determinar la MMC, inicialmente debemos enumerar algunos múltiplos de los números en cuestión. El primer múltiplo que aparece al enumerar los dos o más números en cuestión se llama el mínimo común múltiplo. Se llama mínimo porque es el más pequeño de ellos y siempre coincidirá con el primer número común a los dos o más números.
Ejemplo - Para determinar el mínimo común múltiplo entre los números 4 y 8, enumeremos los múltiplos de los dos números.
M (4) = {4, 8, 12,16, 20, ...} y M (8) = {8, 16, 24,32,40, ...}
Ahora, observe que el múltiplo más pequeño que aparece en ambos listados es el número 8. Por lo tanto, la MMC (8.4) = 8
darse cuenta de que este método no es prácticocuando los números son demasiado grandes. Imagine, por ejemplo, determinar la MMC entre los números 2 y 121 utilizando este método. Tendríamos que enumerar los múltiplos de 2 hasta acercarnos a 121.
Con esto en mente, podemos usar el descomposición de factores primos, es decir, debemos realizar sucesivas divisiones por números primos. Vea el siguiente ejemplo.
Para calcular la MMC (121,2), inicialmente descompondremos el número en factores primos y luego multiplicaremos esos factores. El resultado de la multiplicación será el MMC.
Por lo tanto, la MMC (121,2) = 2 · 11 · 11 = 242.
Ejemplo - Determine la MMC (8.4) utilizando la descomposición de factores primos.
Por tanto, la MMC (8.4) = 2 · 2 · 2 = 8, como se muestra en el primer método.
Propiedades de MMC
Vea las propiedades de la MMC a continuación.
Propiedad 1
El producto del máximo común divisor con el mínimo común múltiplo de dos números. La y B es igual al módulo del producto de estos números.
MDC (a, b) · MMC (a, b) = | a · b |
Ejemplo - Sabemos que MDC (8.4) = 4 y MMC (8.4) = 8. De hecho,
MDC (8,4) · MMC (8,4) = | 8 · 4 |.
Propiedad 2
Los múltiplos comunes de dos o más números son múltiplos MMC de esos números.
Ejemplo - Vimos que M (4) = {4, 8, 12,16, 20, ...} y M (8) = {8, 16, 24,32,40, ...} y que la MMC (8.4) = 8. La propiedad nos dice que los múltiplos de 8 y 4 son múltiplos de 8, que, casualmente en este caso, es el mínimo común múltiplo.
Propiedad 3
La MMC entre dos números primos entre sí es igual a la multiplicación entre ellos.
NOTA: Dos números son primos entre sí cuando no tienen un divisor común.
Ejemplo - Encuentra el mínimo común múltiplo entre 5 y 21.
Como los números no tienen un divisor común, es decir, son primos el uno al otro, el múltiplo más pequeño entre ellos es el producto entre ellos, entonces MMC (21.5) = 21 · 5 = 105. De hecho, esto es cierto, como podemos ver en la descomposición en factores primos.
MMC (21,5) = 3 · 5 · 7 = 105
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MMC y fracciones
O minimo común multiplo también se utiliza para realizar las operaciones de suma y resta de fracciones. Para agregar o sustraer dos o más fracciones, simplemente calcule inicialmente la MMC entre los denominadores, luego divida esa MMC por el denominador y multiplique el resultado por el numerador. Vea los ejemplos.
Ejemplo - Determinar la suma de la siguiente fracción 4 + 5.
7 3
Inicialmente determinemos el MMC (7,3). Para esto, podemos usar el propiedad 3, por lo tanto, MMC (7.3) = 21.
Así, 4 + 5 = 56 :7 = 8.
7 3 21:7 3
El mismo procedimiento es válido para cuando tenemos una resta de fracciones, solo preste atención solo al signo entre las fracciones.
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Ejercicio resuelto
Pregunta 1 - (UPE) Rodrigo estaba mirando la luz intermitente del adorno navideño de su casa. Consiste en bombillas en amarillo, azul, verde y rojo. Rodrigo notó que las bombillas de luz amarilla se encienden cada 45 segundos, las bombillas de luz verde cada 60 segundos, la azul, cada 27 segundos, y los rojos solo se encienden cuando las lámparas de los otros colores se encienden al mismo tiempo hora. ¿Cuántos minutos se encienden las luces rojas?
La) 6
B) 9
C) 12
D) 15
y) 18
Solución
Como las lámparas solo se encienden cuando todas están encendidas mismo tiempo, es decir, debemos encontrar el tiempo común de activación de las lámparas. Entonces, simplemente calcule el MMC entre 60, 45 y 27.
Por lo tanto, la MMC (60, 45, 27) = 2 x 2 x 3 x 3 x 3 x 5 = 540 segundos. Como el ejercicio está interesado en el intervalo de tiempo en minutos, simplemente divida el 540 por 60.
540: 60 = 9 minutos.
Alternativa b.
