Conocemos como números reales todos los números racionales y irracional. Estudiando el conjuntos numéricos, es importante entender que siguen las necesidades y la historia de la humanidad, los conjuntos numéricos son:
- conjunto de números naturales
- conjunto de números enteros
- conjunto de números racionales
- conjunto de números irracionales
- conjunto de números reales
Tú los números reales tienen propiedades tales como: asociativo, conmutativo, existencia del elemento neutro para la suma y multiplicación, existencia de un elemento inverso en la multiplicación y distributivo. los números reales se puede representar en la línea real - cómo representarlos de forma ordenada.
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¿Cuáles son los números reales?
Conocemos como números reales el conjunto formado por unión de números racionales e irracionales. Es bastante común trabajar con ellos, pero el conjunto de números reales no fue el primero en aparecer en la historia.
números naturales
O primer conjunto numérico estaba formado por los números naturales. Fueron creados a partir de la necesidad básica del ser humano de contar y contar objetos de su vida diaria. Tú números naturales ellos son:
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 ...}
enteros
Con la evolución de la sociedad, los anhelos del ser humano fueron cambiando y el Necesito trabajar con números negativos.. Operaciones como 4 - 6, que, en el conjunto de números naturales, no tenían sentido, empezaron a hacerlo con la aparición de este nuevo conjunto. El conjunto de números enteros se le ocurrió la adición de números negativos en el conjunto de números naturales, es decir, está formado por los números naturales y el opuesto de ellos.
Z = {... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3...}
numeros racionales
Resulta que, aun así, con la suma de números negativos, el conjunto de números enteros no fue suficiente, ya que, dado que el antiguo Egipto, es bastante común utilizar números que no sean enteros. Fue entonces cuando se dio cuenta de la necesidad de formalizar un nuevo conjunto: el conjunto formado por todos números que se pueden representar con una fracción se conoce como números racionales.
A diferencia del conjunto de números enteros, en el racional no es posible escribir una lista de términos con sus predecesores y sucesores, porque, dados los números racionales, siempre habrá otro número racional entre ellos. Por ejemplo, entre 1 y 2 hay 1,5; entre 1 y 1,5 hay 1,25; y así sucesivamente. Por lo tanto, para representar los números racionales, usamos la siguiente notación:
En esta notación el número racional es el que se puede representar por la fracción La debajo B, en que La es un entero y B es un número entero distinto de cero.
En el conjunto de números racionales, todos los enteros fueron incluidos que ya se conocían, ya que todos se pueden representar como una fracción, además de los números decimales exactos y el diezmos periódicos, positivo y negativo.
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Numeros irracionales
Al contrario de la definición de números racionales, hay números que no se pueden representar como una fracción. Algunos matemáticos los han estudiado en el tiempo, en un intento de hacer esta representación, pero no es posible. Estos números son los diezmos no periódicos y el raíces no exacto, que terminan generando diezmos no periódicos como resultado. El número π, por ejemplo, es un número irracional bastante común en la vida cotidiana. El conjunto de números irracionales no se puede enumerar, al igual que los números racionales, y está representado por la letra I.
Ejemplos:
- √2 → las raíces no exactas son números irracionales;
- -√5 → raíces no exactas incluso si las negativas son números irracionales;
- 3.123094921… → los decimales no periódicos son números irracionales.
numeros reales
Dado que todos los números naturales y enteros se consideran racionales, hasta ahora, los números pueden ser clasificado en dos grandes conjuntos, el conjunto de números racionales y el conjunto de números irracional. El conjunto de números reales no es más que el unión de números racionales e irracionales.
R = {Q U I}
Hasta ahora, todos los números que conocemos se llaman números reales.
Operaciones con números reales
Las operaciones que involucran números reales son las conocidas para todos los conjuntos de números anteriores. Son ellas:
- adición
- sustracción
- división
- multiplicación
- potenciación
- Radiación
Para realizar cualquiera de estas operaciones entre números reales, no hay diferencia con las operaciones con números anteriores.
Además, considerando tales operaciones, es importante resaltar que hay propiedades en el conjunto de números reales.
Propiedades de los números reales
Es importante comprender que las propiedades de los números reales son consecuencias de su definición y son útiles para realizar operaciones. Son ellas:
- existencia de un elemento neutro para la suma y la multiplicación
- propiedad conmutativa
- propiedad asociativa
- Propiedad distributiva
- existencia de una inversa
elemento neutro
Ser La un número real.
Hay un número que, sumado a La, resulta en sí mismo La:
La + 0 = La
0 es el elemento neutral de la suma..
Hay un número que, al multiplicar por La, resulta en sí mismo La.
La · 1 = La
1 es el elemento neutral de la multiplicación.
Propiedad conmutativa
Ser La y B dos números reales.
Ya sea en suma o multiplicación, el orden de los números no cambiará el resultado.
La + B = B + La
a · b = b · a
propiedad asociativa
Ser La, B y C numeros reales.
Tanto en la suma como en la multiplicación, los dos números operados son indiferentes a cualquier orden.
(La + B) + C = La + (B + C)
(a · b) · C = La· (antes de Cristo)
Propiedad distributiva
Ser La, B y C numeros reales.
La propiedad distributiva muestra que el el producto de la suma es igual a la suma de los productos.
C (a + b) = ca + cb
Existencia de una inversa
Ser La un número real distinto de cero.
por cada número real La diferente de cero, hay un número tal que el producto ingresa La y este número es igual a 1.
representación en la línea
Podemos representar el conjunto de números reales en una línea, ya que hay un principio de orden bien definido para él. Esta representación en la línea se conoce como la línea real o rees numérico y es bastante común, incluso en el estudio del plano cartesiano.
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ejercicios resueltos
Pregunta 1 - Juzgue las siguientes afirmaciones:
I - Los decimales periódicos son números reales.
II - Todo número real es racional o irracional.
III - No todos los números enteros son naturales.
Analizando los enunciados, podemos decir que:
A) solo yo es falso.
B) solo II es falso.
C) solo III es falso.
D) todos son ciertos.
E) todos son falsos.
Resolución
Alternativa D.
I - Es cierto, ya que los diezmos son números irracionales, por lo tanto, son números reales.
II - Cierto, ya que el conjunto de números reales es la unión de números reales e irracionales.
III - Verdadero, ya que los números negativos, como -2 y -5, son enteros, pero no naturales.
Pregunta 2 - Consulte las siguientes propiedades:
I - propiedad conmutativa
II - propiedad distributiva
III - propiedad asociativa
Analiza las siguientes operaciones y márcalas con el número de sus respectivas propiedades:
1 - ( ) 3 (2 + 5) = 6 + 15
2 - ( ) 5 · 4 = 4 · 5
3 - ( ) (2 + 4) + 1 = 2 + (4 + 1)
4 - ( ) 1 + 5 = 5 + 1
Cuál de las alternativas corresponde al orden correcto de propiedades:
A) II - I - III - I
B) I - III - III - II
C) III - II - III - III
D) II - I - III - II
E) II - III - II - I
Resolución
Alternativa A.
1 - (II) En este caso sucedió la propiedad distributiva, ya que nótese que 3 fue multiplicado por cada uno de los factores de la operación.
2 - (I) En este caso, el orden de los factores no cambia el producto, conmutatividad de la multiplicación.
3 - (III) Tenemos la propiedad asociativa, ya que el orden en que se agregan estos elementos no cambia la suma.
4 - (I) Aquí nuevamente tenemos conmutatividad, ya que el orden de las parcelas no cambia la suma.
