En matemáticas, tenemos algunos conjuntos numéricos, como naturales, enteros y racionales. Los números naturales están formados por los números 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6... Los enteros están compuestos por los números naturales y su versión negativa, es decir,…, -2, -1, 0, 1, 2, 3... Los números racionales, por otro lado, son todos aquellos números que se originan a partir de una división, recordando que cada división se puede expresar mediante una fracción, por ejemplo, 1 ÷ 2 = ½. Luego podemos separar los números racionales en tres clasificaciones:
-
División exacta - 8 ÷ 2 = 4
10 ÷ 5 = 2
9 ÷ 3 = 3
Decimales finitos - 1 ÷ 2 = 0.5
5 ÷ 4 = 1,25
9 ÷ 5 = 1,8
-
Décimo periódico - 3 ÷ 9 = 0.33333 ...
21 ÷ 99 = 0,21212121...
100 ÷ 999 = 0,100100100...
Todos los números decimales que tienen infinitos lugares decimales, con una secuencia numérica repetida, se denominan diezmo periódico. El número que se repite se llama curso del tiempo. En los ejemplos citados anteriormente, 0,33333..., 0,21212121... y 0.100100100..., los períodos son, respectivamente, 3, 21 y 11.
Pero dado el decimal periódico, ¿sabe cómo encontrar la fracción que lo originó? Tenemos un dispositivo útil que indica rápidamente la fracción cuya división generó el diezmo periódico, también conocido como fracción generadora. Veamos algunos casos:
0,444444...
En este caso, tenemos un período decimal periódico 4 y con la parte entera nula, es decir, antes de la coma solo hay 0. Como nuestro período solo tiene un dígito, dividámoslo por 9. Nuestra fracción generadora se verá así:
0,444444... = curso del tiempo = 4
9 9
En el caso de 0.32332232..., el período tiene dos dígitos por lo tanto, para encontrar tu fracción, Dividiremos el período por 99:
0,323232...= curso del tiempo = 32
99 99
Y así sucesivamente.
Ver otro ejemplo: 0, 100100100100...
En ese caso, el período es 100, número formado por tres dígitos, por lo que debe dividirse entre 999.
0,10010010 = curso del tiempo = 100
999 999
Otro caso ocurre cuando tenemos un decimal periódico igual 0,254444... En este diezmo periódico, hay un período 4 y una parte no periódica después de la coma, la 25. Si consideramos la parte no periódica, seguida del período, tendremos: 254. De este valor restaremos la parte no periódica: 254 – 25 = 229. Para dividir el 229, necesitamos analizar nuestro diezmo: para cada dígito del período, ponemos el 9, y para cada dígito de la parte no periódica, lo llenamos con 0. Obteniendo lo siguiente:
0,254444... = 254 –25 = 229
900 900
Veamos otros ejemplos:
0,31252525... = 3125 – 31 = 3094
9900 9900
0,411222... = 4112 – 411 = 3701
9000 9000
0,0291291291... = 0291 – 0 = 291
9990 9990
Finalmente, tenemos el caso donde el número que aparece antes de la coma no es cero, es decir, cuando hay una parte entera en el decimal periódico. En este caso, debemos separar la parte entera de la parte decimal. Por ejemplo, en el caso de 1,4444..., debemos escribirlo como 1 + 0,4444... Transformamos la parte decimal en una fracción usando el método adecuado, como hicimos en el primer ejemplo. Vea:
0,444444... = curso del tiempo = 4
9 9
Solo agrega esta fracción con la parte completa:
Por lo tanto, 13/9 es la fracción generadora de 1.4444 ...
Por Amanda Gonçalves
Licenciada en Matemáticas
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