O conjunto de números irracionales está formado por los números que no se puede representar como fracciones. En algunas situaciones, el conjunto de números racionales no fue suficiente para resolver problemas, es entonces cuando se notó la existencia de números irracionales, como las raíces inexactas, los diezmos no periódicos,el π, entre otros.
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Conjunto de números irracionales
A lo largo de la historia, en la aplicación de Teorema de pitágoras en un triángulo rectángulo de lados que miden 1, se encontró que la respuesta era igual a la raíz del número 2.
Resulta que esta respuesta aparentemente simple hizo posible descubrir una nueva conjunto numérico. En un intento por encontrar la respuesta a esta fuente cuadrado de 2, encontré uno número decimal conocido como diezmo no periódico, que es imposible de representar como una fracción. Esto hizo necesario crear un nuevo conjunto, los irracionales, ya que, hasta ese momento, todos los números eran racionales (que se pueden escribir como fracción).
El conjunto de números irracionales está compuesto por todos los números que No se puede escribir en forma de fracción. |
¿Qué son los números irracionales?
Para que un número se considere irracional, debe respetar la definición, es decir, no se puede representar como una fracción. Estos números son los raíces inexactas, a diezmos no periódicos y algunos casos especiales, como la constante π (léase: pi) o el número ɸ (léase: fi), entre otros.
Raíces no exactas
Cuando el número no es un cuadrado perfecto, se conoce como raíz inexacta. Vea algunos ejemplos:
diezmos no periódicos
Al resolver estas raíces, la respuesta siempre será una aproximación, lo que llamamos diezmos no periódicos.
Note que la parte decimal es infinita y que no hay punto, es decir, una secuencia que causa la podemos predecir el siguiente número en la parte decimal, y es por eso que llamamos a este número decimal, no periódico. No solo los decimales generados por raíces inexactas, sino que cualquier decimal no periódico es un número irracional.
otros números irracionales
• Número π: es bastante común para cálculos que involucran curvas como el área y la longitud de circunferencia o volumen de cilindros y conos, y es uno de los números irracionales más conocidos. Debido a que es irracional, usamos un símbolo para representarlo, sin embargo, π es un decimal no periódico, es suyo valor es igual a 3,14159265358979323846… Se conocen varios lugares de este número, pero normalmente usamos una aproximación, con el valor de 3,14.
• Número ɸ: también se conoce como numero de oro y se ha estudiado desde la Antigüedad, describiendo diversos fenómenos naturales, como la reproducción de poblaciones de conejos. También hay un informe sobre el uso de esta proporción en obras artísticas. También es un número irracional, por lo que se representa con el símbolo ɸ, cuyo valor es: 1,61803398875…
• Constante de Euler: se utiliza para fenómenos que involucran matemática financiera, y en las áreas de biología, astronomía, entre otras. También es un número irracional y por lo tanto está representado por el símbolo y, con un valor de: 2,718281828459045235360…
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número racional e irracional
Resulta que cualquier número puede clasificarse como racional o irracional. Directamente, O número racional es cada número que se puede escribir como una fracción. Los decimales exactos, los decimales periódicos, los números enteros son números racionales. Los números irracionales, en cambio, son lo contrario a eso, es decir, son los que no se pueden escribir como fracción, como mencionamos, son decimales no periódicos y raíces no exactas.
- Ejemplo
El diezmo 3.12121212... es periódico, nótese que en su parte decimal hay un punto, que es el número 12, que siempre se repite, por lo tanto, este número es racional.
El diezmo 6,1249375…. no es periódico, tenga en cuenta que no hay ningún punto en su parte decimal, lo que hace que este número irracional.
ejercicios resueltos
Pregunta 1 - ¿Cuál de los siguientes números se puede clasificar como irracional?
Resolución
Alternativa C.
a) Sabemos que 25 es un cuadrado perfecto, es decir, su raíz cuadrada es exactamente igual a 5, entonces este es un número racional.
b) Al calcular la raíz de 81, sabemos que su resultado es 9, lo que hace que ese número sea racional.
c) 10 no tiene una raíz cuadrada exacta, es decir, es un número irracional, lo que hace que la alternativa C sea correcta.
d) 5.1888 es un número decimal exacto, por lo que es racional.
e) 1.2323… es una décima con un período igual a 23, por lo que es un número racional.
Pregunta 2 - Acerca de los números irracionales, juzgue las siguientes afirmaciones como verdaderas o falsas:
I - Toda raíz cuadrada es un número irracional.
II - Todo decimal no periódico es un número irracional.
III - El número ɸ y el número π son ejemplos de números irracionales.
Según el juicio de las sentencias, es correcto afirmar que:
a) Solo el enunciado I es verdadero.
b) Solo el enunciado II es verdadero.
c) Solo las declaraciones II y III son verdaderas.
d) Solo las declaraciones I y II son verdaderas.
e) Todas las declaraciones son verdaderas.
Resolución
Alternativa C.
I - Falso, ya que solo la raíz cuadrada no exacta es un número irracional.
II - Verdadero. Los decimales no periódicos son números irracionales.
III - Cierto, dado que los números ɸ y π son decimales no periódicos, por lo tanto, son números irracionales.
