Ejercicios sobre la condición de alineación de tres puntos

Puntos alineados o puntos colineales son puntos que pertenecen a la misma línea.

Dados tres puntos $\ dpi {120} \ mathrm {A} (x_1, y_1)$ , $\ dpi {120} \ mathrm {B} (x_2, y_2)$ y $\ dpi {120} \ mathrm {C} (x_3, y_3)$ , la condición de alineación entre ellos es que las coordenadas sean proporcionales:

$\ dpi {120} \ boldsymbol {\ frac {x_2-x_1} {x_3-x_2} = \ frac {y_2-y_1} {y_3-y_2}}$

Ver un lista de ejercicios sobre la condición de alineación de tres puntos, todo con resolución completa.

Índice

Ejercicios sobre la condición de alineación de tres puntos
Resolución de la pregunta 1
Resolución de la pregunta 2
Resolución de la pregunta 3
Resolución de la pregunta 4
Resolución de la pregunta 5

Ejercicios sobre la condición de alineación de tres puntos

Pregunta 1. Compruebe que los puntos (-4, -3), (-1, 1) y (2, 5) estén alineados.

Pregunta 2. Compruebe que los puntos (-4, 5), (-3, 2) y (-2, -2) estén alineados.

Pregunta 3. Compruebe si los puntos (-5, 3), (-3, 1) y (1, -4) pertenecen a la misma línea.

Pregunta 4. Determine el valor de a para que los puntos (6, 4), (3, 2) y (a, -2) sean colineales.

Pregunta 5. Determina el valor de b para los puntos (1, 4), (3, 1) y (5, b) que son vértices de cualquier triángulo.

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Resolución de la pregunta 1

Puntos: (-4, -3), (-1, 1) y (2, 5).

Calculamos el primer lado de la igualdad:

$\ dpi {120} \ frac {x_2-x_1} {x_3-x_2} = \ frac {-1 - (-4)} {2 - (-1)} = \ frac {3} {3} = 1$

Calculamos el segundo lado de la igualdad:

$\ dpi {120} \ frac {y_2-y_1} {y_3-y_2} = \ frac {1 - (-3)} {5 - 1} = \ frac {4} {4} = 1$

Dado que los resultados son iguales (1 = 1), los tres puntos están alineados.

Resolución de la pregunta 2

Puntos: (-4, 5), (-3, 2) y (-2, -2).

Calculamos el primer lado de la igualdad:

$\ dpi {120} \ frac {x_2-x_1} {x_3-x_2} = \ frac {-3 - (-4)} {- 2 - (- 3)} = \ frac {1} {1} = 1$

Calculamos el segundo lado de la igualdad:

$\ dpi {120} \ frac {y_2-y_1} {y_3-y_2} = \ frac {2 - 5} {- 2-2} = \ frac {-3} {- 4} = \ frac {3} {4 }$

En qué se diferencian los resultados $\ bigg (1 \ neq \ frac {3} {4} \ bigg)$ , por lo que los tres puntos no están alineados.

Resolución de la pregunta 3

Puntos: (-5, 3), (-3, 1) y (1, -4).

Calculamos el primer lado de la igualdad:

$\ dpi {120} \ frac {x_2-x_1} {x_3-x_2} = \ frac {-3 - (-5)} {1 - (-3)} = \ frac {2} {4} = \ frac { 1} {2}$

Calculamos el segundo lado de la igualdad:

$\ dpi {120} \ frac {y_2-y_1} {y_3-y_2} = \ frac {1 - 3} {- 4 - 1} = \ frac {-2} {- 5} = \ frac {2} {5 }$

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En qué se diferencian los resultados $\ bigg (\ frac {1} {2} \ neq \ frac {2} {5} \ bigg)$ , por lo que los tres puntos no están alineados, por lo que no pertenecen a la misma línea.

Resolución de la pregunta 4

Puntos: (6, 4), (3, 2) y (a, -2)

Los puntos colineales son puntos alineados. Entonces, debemos obtener el valor de a para que:

$\ dpi {120} \ frac {x_2-x_1} {x_3-x_2} = \ frac {y_2-y_1} {y_3-y_2}$

Sustituyendo los valores de las coordenadas, tenemos que:

$\ dpi {120} \ mathrm {\ frac {3-6} {a-3} = \ frac {2-4} {- 2-2}}$

$\ dpi {120} \ Flecha derecha \ mathrm {\ frac {-3} {a-3} = \ frac {-2} {- 4}}$

Aplicando la propiedad fundamental de las proporciones (multiplicación cruzada):

$\ dpi {120} \ mathrm {-2 (a-3) = 12}$

$\ dpi {120} \ Flecha derecha \ mathrm {-2a + 6 = 12}$

$\ dpi {120} \ Flecha derecha \ mathrm {-2a = 6}$

$\ dpi {120} \ Flecha derecha \ mathrm {a = - \ frac {6} {2}}$

$\ dpi {120} \ Flecha derecha \ mathrm {a = -3}$

Resolución de la pregunta 5

Puntos: (1, 4), (3, 1) y (5, b).

Los vértices de un triángulo son puntos no alineados. Así que obtengamos el valor de b con el que los puntos están alineados y cualquier otro valor diferente dará como resultado que los puntos no estén alineados.

$\ dpi {120} \ frac {x_2-x_1} {x_3-x_2} = \ frac {y_2-y_1} {y_3-y_2}$

Sustituyendo los valores de las coordenadas, tenemos que:

$\ dpi {120} \ mathrm {\ frac {3-1} {5-3} = \ frac {1-4} {b-1}}$

$\ dpi {120} \ Flecha derecha \ mathrm {\ frac {2} {2} = \ frac {-3} {b-1}}$

Multiplicar la cruz:

$\ dpi {120} \ mathrm {2. (b-1) = - 6}$

$\ dpi {120} \ Flecha derecha \ mathrm {2b -2 = -6}$

$\ dpi {120} \ Flecha derecha \ mathrm {2b = -4}$

$\ dpi {120} \ Flecha derecha \ mathrm {b = - \ frac {4} {2}}$

$\ dpi {120} \ Flecha derecha \ mathrm {b = -2}$

Entonces, para cualquier valor de b que sea diferente de -2, tenemos los vértices de un triángulo. Por ejemplo, (1, 4), (3, 1) y (5, 3) forman un triángulo.

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