Relaciones trigonométricas secante, cosecante y cotangente son inversas a las razones coseno, seno y tangente. El estudio de la trigonometría en ciclo trigonométrico obtuvo grandes contribuciones al desarrollo de funciones inversas
La razón de seno inversa (sen x) se conoce como cosecante (cossec x), la razón de coseno inversa (cos x) se conoce como secante (sec x), y la razón inversa de la tangente (tg x) se conoce como cotangente (cotg X). Pueden estar representados por:
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cosecante
Conocido como la relación trigonométrica seno inverso, la cosecante se establece en ángulos cuyo seno es distinto de cero. Para encontrar la cosecante de un ángulo x, solo tenemos que calcular el inverso de su valor de seno.
Ejemplo
Calcule el valor de cossec 60º.
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Cosecante en el ciclo trigonométrico
En el estudio de la trigonometría, la razón cosecante está relacionada con la
ciclo trigonométrico, que es un círculo de radio 1. Para encontrar la cosecante de un ángulo geométricamente, conociendo el ángulo x, dibujemos la recta tangente al punto B, la recta t. La cosecante de x será la segmento que conecta el centro con el punto donde la línea t se cruza con el eje vertical, representado por AC en la imagen.
Condición de existencia de la cosecante
Como vimos que el valor de la cosecante es el segmento que conecta el centro del círculo con el punto donde la recta tangente toca el eje vertical, nos damos cuenta de que hay tres ángulos donde no hay cosecante definida, ya que la línea tangente no toca el eje vertical.
No hay cosecante para los ángulos de 0º, 180º y 360º. Recordemos que en estos ángulos el valor del seno es cero, algebraicamente estaríamos calculando la división de 1 por cero, lo cual no es posible.
signo cosecante
Es posible ver, en la representación en el ciclo, que para ángulos mayores que 0º y menos de 180º, la cosecante siempre será positiva. para ángulos por encima de 180º, el signo de la cosecante será negativo, es decir, la cosecante es positiva en el 1er y 2do cuadrante y negativa en el 3er y 4to cuadrante.
Vea también: Reducción al primer cuadrante del ciclo trigonométrico
el secado
conocido como el cociente trigonométrico inverso del coseno, la secante se define para ángulos cuyo coseno es distinto de cero. Para encontrar la secante de un ángulo x, solo necesitamos calcular el inverso de su valor de coseno.
Ejemplo:
Calcule los 45 ° seg.
Secante en el ciclo trigonométrico
Para encontrar la secante de un ángulo geométricamente, conociendo el ángulo x, dibujemos la recta t, tangente al punto B. La secante de x será la segmento que conecta el centro con el punto donde la línea t se cruza con el eje horizontal, representado por CD en la imagen.
Condición de existencia de la secante
No hay secante para los ángulos de 90º y 270º, geométricamente, porque en estos puntos la recta t no toca el eje. horizontal y algebraicamente, porque el valor del coseno de 90 ° y 270 ° es cero, y la división de 1 por cero es imposible.
signo secante
Para ángulos mayores de 0º y menores de 90º y para ángulos mayores de 270º y menores de 360º, la secante siempre será positiva. Para ángulos superiores a 90º e inferiores a 270º, el signo de la secante será negativo, es decir, la secante es positiva en los cuadrantes 1 y 4 y negativa en los cuadrantes 2 y 3.
Vea también: Aplicaciones de las leyes trigonométricas de un triángulo: seno y coseno
Cotangente
conocido como el Relación trigonométrica inversa de tangente, la cotangente se define para ángulos cuya tangente no es cero. Para encontrar la cotangente de un ángulo x, solo necesitamos calcular la inversa de su valor de tangente.
Ejemplo:
Calcule el cotg de 30º.
Cotangente en el ciclo trigonométrico
Para representar la cotangente, trazamos una línea p, paralela al eje horizontal en el punto A. Luego, al construir el ángulo x, trazamos la línea r, que pasa por el centro C y por el punto B, para encontrar el punto E, que es el punto de encuentro entre las líneas py r. La pista AE será la cotangente del ángulo x.
Condición de existencia cotangente
la cotangente no existe para ángulos cuya tangente es igual a cero, que son los ángulos de 0º, 180º y 360º. Geométricamente, en estos ángulos la línea r será paralelo a p, por lo que no tienen ningún punto en común, lo que hace imposible rastrear el segmento AE.
signo cotangente
El signo de la cotangente es positivo para ángulos mayores de 0º y menores de 90º y también para ángulos mayores de 180º y menores de 270º, y es negativo para ángulos superiores a 90º e inferiores a 180º y también para ángulos superiores a 270º e inferiores a 360º. Entonces la cotangente es positivo para el primer y tercer cuadrante (impar) y negativo para el segundo y cuarto cuadrante (par).
Ejecuciones resueltas
Pregunta 1 - Las funciones trigonométricas cotg x y sec x en el segundo cuadrante tienen imágenes, respectivamente:
a) positivo y positivo
b) negativo y negativo
c) positivo y negativo
d) negativo y positivo
Resolución
Alternativa B.
Analizando el comportamiento de cada una de las funciones, se puede observar que la cotangente es positiva en los cuadrantes impares y negativa en los cuadrantes pares, por lo que será negativa en el 2º cuadrante. La función secante es positiva en el primer y cuarto cuadrantes y negativa en el segundo y tercer cuadrantes, por lo que también será negativa.
Pregunta 2 - Sabiendo que x = 90º, el valor de la expresión es:
Resolución
Alternativa C.
Sustituyendo x = 90º, tenemos que:
Ahora calculemos por separado cada una de las razones trigonométricas:
Calculando cada uno de ellos, es posible sustituir en la expresión:
Por Raul Rodrigues de Oliveira
Profesor de matemáticas
