Trigonometría es una palabra de origen griego que se refiere a la medida de tres ángulos. Los estudios en esta área de las matemáticas se centran en triangulos, que son polígonos que tienen tres lados y, en consecuencia, tres ángulos. Al principio, el trigonometría se ocupa de estudiar algunas propiedades y relaciones de los triángulos rectángulos para luego relacionar las medidas de los lados de los triángulos con las medidas de los ángulos.
Estas propiedades y relaciones se expanden a cualquier triángulo a través de teoremas conocidos como ley de pecados y ley del coseno. Posteriormente, algunos de estos resultados se observan en triángulos cuyos lados son segmentos notables de un círculo, lo que se conoce como “círculo trigonométrico”.
LA trigonometría propone una gran novedad. Antes, solo era posible considerar cálculos y propiedades que involucraban exclusivamente lados o exclusivamente ángulos de un triángulo o relaciones básicas entre estos elementos. A su llegada, es posible relacionar directamente las medidas de los lados de un triángulo con la medida de uno de sus ángulos. Es de notar que las relaciones entre los lados notables y los segmentos dentro de un triángulo también forman la
trigonometría.Antes de profundizar en el concepto de trigonometría, Es importante saber cuáles son los elementos más importantes de un triángulo rectángulo. Estos elementos se detallan a continuación:
Elementos de un triángulo rectángulo
Cada triángulo rectángulo se puede subdividir en otros dos triángulos rectángulos, como se muestra en la figura siguiente, trazando la altura "h" en relación con la base "a".
La altura de este triángulo rectángulo forma dos ángulos de 90 ° con su base
Considerando el triángulo ABD, rectángulo en B, es posible observar los siguientes elementos:
1 - Los lados AB y BD se llaman lados y sus medidas son cyb, respectivamente;
2 - El lado AD se llama hipotenusa y su medida es a. Este lado siempre estará opuesto al ángulo de 90 °;
3 - BE es la altura del triángulo ABD con respecto a la base AD y su medida es h. (recordando que la altura siempre forma un ángulo de 90 ° con la base relativa a ella);
4 - AE es la proyección ortogonal del cateto AB sobre la hipotenusa. Su medida es m;
5 - ED es la proyección ortogonal de la pierna BD sobre la hipotenusa. Su medida es n.
A continuación, presentamos y discutimos algunas propiedades que se ven en trigonometría, basadas en los elementos del triángulo rectángulo expuestos arriba.
Relaciones métricas en el triángulo rectángulo
Son igualdades que relacionan lados, alturas y proyecciones ortogonales de un triángulo rectángulo:
1) c2 = promedio
2) b · c = a · h
3) h2 = m · n
4) b2 = no
5) el2 = b2 + c2 (Teorema de pitágoras)
Razones trigonométricas o razones en el triángulo rectángulo
Estas igualdades relacionan las proporciones entre los lados de un triángulo rectángulo y uno de sus ángulos agudos. Para ello es necesario fijar uno de los dos ángulos y observar, en el triángulo rectángulo, las definiciones de lado opuesto y lado adyacente:
Triángulo rectángulo, resaltando el ángulo α
BD es el pierna opuesta al ángulo α;
AB es el pierna adyacente al ángulo α.
Estos son los requisitos previos para definir el razones trigonométricas. Son ellas:
→ Seno de α
pecado α = Cathetus opuesto a α
Hipotenusa
→ Coseno de α
cos α = Catheto adyacente a α
Hipotenusa
→ Tangente de α
tg α = Cathetus opuesto a α
Catheto adyacente a α
Estas razones se aplican a cualquier triángulo rectángulo que tiene un ángulo agudo igual a α. El resultado de estas divisiones es siempre el mismo, independientemente de la longitud del lado del triángulo, como dos triángulos que tienen dos ángulos iguales, debido a la semejanza triangular ángulo-ángulo, tienen lados proporcionales. De ahí se sigue que la relación entre los lados es igual.
circulo trigonométrico
También llamado ciclo trigonométrico o círculo trigonométrico (nombres más correctos pero menos comunes), es un círculo orientado de radio 1. En esta circunferencia, un triángulo rectángulo, cuyo ángulo α coincide con el origen, por lo que la altura de este triángulo va desde el eje de abscisas hasta el borde del círculo.
Esta altura coincide con el valor de seno, porque es el lado opuesto al ángulo α. La medida que va desde el punto donde la altura se encuentra con el eje de la abscisa hasta el origen coincide con el lado adyacente al ángulo α, es decir, con el valor de coseno.
Estas coincidencias ocurren porque la hipotenusa siempre es 1, ya que es el radio del círculo. Tenga en cuenta estas propiedades en la imagen siguiente:
Círculo de radio 1, en el que se coloca un triángulo rectángulo para evaluar sus propiedades
Cualquiera que sea el triángulo rectángulo construido en este círculo, el lado que coincide con una parte del eje de abscisas mide exactamente el valor del coseno de α y el otro lado mide exactamente el seno de α.
Funciones trigonométricas
Usando el círculo trigonométrico, es posible definir funciones trigonométricas que relacionan cada elemento del conjunto de números reales con un solo elemento también del conjunto de números reales. Sin embargo, estos números se expresan en radianes, que es una unidad de medida en función de π utilizada porque, después de 360 ° en el círculo trigonométrico, la cuenta de grados y, en consecuencia, de los elementos de dominio y contradominio de una función basada en ella puede reiniciarse desde cero.
relaciones fundamentales
Las relaciones fundamentales de la trigonometría son:
1) Relación fundamental 1
Sen2α + cos2α = 1
2) tangente de α
tg α = pecado α
cos α
3) Cotangente de α, que es la inversa de la tangente de α
cotg α = cos α
pecado α
4) Secante de α, que es el inverso del coseno de α
seg α = 1
cos α
5) Cossecante de α, que es la inversa del seno de α
cossec α = 1
pecado α
6) Relación que surge 1
tg2α + 1 = seg2α
7) Relación 2
cotg2α + 1 = cossec2α
8) Relación recurrente 3
cotg α = 1
tg α
Por Luiz Paulo Moreira
Licenciada en Matemáticas
Fuente: Escuela Brasil - https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-e-trigonometria.htm