Υπολογισμός περιοχής κώνου: τύποι και ασκήσεις

Ο περιοχή κώνου αναφέρεται στο μέτρο της επιφάνειας αυτού του χωρικού γεωμετρικού σχήματος. Να θυμάστε ότι ο κώνος είναι ένα γεωμετρικό στερεό με κυκλική βάση και ένα σημείο, το οποίο ονομάζεται κορυφή.

Τύποι: Πώς να υπολογίσετε;

Στον κώνο είναι δυνατόν να υπολογιστούν τρεις περιοχές:

Βασική περιοχή

Ο_σι =π.δ.²

Οπου:

Ο_σι: βασική έκταση
π (π): 3.14
ρ: αστραπή

Πλευρική περιοχή

Ο_εκεί = BCR.g

Οπου:

Ο_εκεί: πλευρική περιοχή
π (π): 3.14
ρ: αστραπή
σολ: γεννήτρια

Σημείωση: ΕΝΑ generatrix αντιστοιχεί στο μέτρο της πλευράς του κώνου. Σχηματίζεται από οποιοδήποτε τμήμα που έχει το ένα άκρο στην κορυφή και το άλλο στη βάση, υπολογίζεται από τον τύπο: σολ² = η² + r² (να εισαι Η το ύψος του κώνου και ρ η αστραπή)

Συνολική έκταση

Στο = BCr (g + r)

Οπου:

Ο_τ: συνολική έκταση
π (π): 3.14
ρ: αστραπή
σολ: γεννήτρια

Περιοχή κώνου

Ο λεγόμενος «κορμός του κώνου» αντιστοιχεί στο μέρος που περιέχει τη βάση αυτού του σχήματος. Έτσι, εάν χωρίσουμε τον κώνο σε δύο μέρη, έχουμε ένα που περιέχει την κορυφή και ένα που περιέχει τη βάση.

Το τελευταίο ονομάζεται «κορμός του κώνου». Σε σχέση με την περιοχή, είναι δυνατόν να υπολογιστεί:

Μικρή περιοχή βάσης (Α_σι)

Ο_σι = BCR²

Μεγαλύτερη βασική περιοχή (Α_σι)

Ο_σι = BCR²

Πλευρική περιοχή (Α_εκεί)

Ο_εκεί = π.δ. (R + R)

Συνολική έκταση (Α_τ)

Ο_τ = Α_σι + Α_σι + Α_εκεί

Λύσεις ασκήσεις

1. Ποια είναι η πλευρική και συνολική επιφάνεια ενός ευθύγραμμου κυκλικού κώνου που έχει ύψος 8 cm και ακτίνα βάσης 6 cm;

Ανάλυση

Πρώτον, πρέπει να υπολογίσουμε τη γεννήτρια αυτού του κώνου:

g = r² + ω²
g = √6² + 8²
g = √36 + 64
g = √100
g = 10 εκ

Μετά από αυτό, μπορούμε να υπολογίσουμε την πλευρική περιοχή χρησιμοποιώντας τον τύπο:

Ο_εκεί = BCR.g
Ο_εκεί = π.6.10
Ο_εκεί = 60π εκ²

Με τον τύπο της συνολικής έκτασης, έχουμε:

Ο_τ = BCR (g + r)
Σε = π.6 (10 + 6)
Σε = 6π (16)
Στο = 96π εκ²

Θα μπορούσαμε να το λύσουμε με άλλο τρόπο, δηλαδή, προσθέτοντας τις περιοχές της πλευράς και της βάσης:

Ο_τ = 60π + π.6²
Ο_τ = 96π εκ²

2. Βρείτε τη συνολική επιφάνεια του κορμού του κώνου ύψους 4 cm, τη μεγαλύτερη βάση ενός κύκλου διαμέτρου 12 cm και τη μικρότερη βάση ενός κύκλου διαμέτρου 8 cm.

Ανάλυση

Για να βρείτε τη συνολική επιφάνεια αυτού του κώνου κορμού, είναι απαραίτητο να βρείτε τις περιοχές της μεγαλύτερης βάσης, της μικρότερης και ακόμη και της πλευράς.

Επιπλέον, είναι σημαντικό να θυμόμαστε την έννοια της διαμέτρου, η οποία είναι διπλάσια της μέτρησης της ακτίνας (d = 2r). Έτσι, με τους τύπους που έχουμε:

Μικρή περιοχή βάσης

Ο_σι = BCR²
Ο_σι = π.4²
Ο_σι = 16π εκ²

Κύρια περιοχή βάσης

Ο_σι = BCR²
Ο_σι = π.6²
Ο_σι = 36π εκ²

Πλευρική περιοχή

Πριν βρούμε την πλευρική περιοχή, πρέπει να βρούμε το μέτρο της γεννήτριας του σχήματος:

σολ² = (R - r)² + ω²
σολ² = (6 – 4)² + 4²
σολ² = 20
g = √20
g = 2√5

Μόλις γίνει αυτό, ας αντικαταστήσουμε τις τιμές στον τύπο για την πλευρική περιοχή:

Ο_εκεί = π.δ. (R + R)
Ο_εκεί = π. 2√5. (6 + 4)
Ο_εκεί = 20π√5 εκ²

Συνολική έκταση

Ο_τ = Α_σι + Α_σι + Α_εκεί
Ο_τ = 36π + 16π + 20π√5
Ο_τ = (52 + 20√5) π cm²

Εξετάσεις Ασκήσεις με Ανατροφοδότηση

1. (UECE) Ένας ευθείος κυκλικός κώνος του οποίου η μέτρηση ύψους είναι Η, τεμαχίζεται, από ένα επίπεδο παράλληλο προς τη βάση, σε δύο μέρη: ένας κώνος του οποίου το ύψος είναι h / 5 και ένας κώνος, όπως φαίνεται στο σχήμα:

Η αναλογία μεταξύ των μετρήσεων των όγκων του μεγαλύτερου κώνου και του μικρότερου κώνου είναι:

α) 15
β) 45
γ) 90
δ) 125

Δείτε την απάντηση

Εναλλακτική d: 125

2. (Mackenzie-SP) Ένα μπουκάλι αρώματος, το οποίο έχει σχήμα ευθύγραμμου κυκλικού κώνου ακτίνας 1 cm και 3 cm, είναι εντελώς γεμάτο. Το περιεχόμενό του χύνεται σε ένα δοχείο που έχει σχήμα ίσου κυκλικού κυλίνδρου με ακτίνα 4 cm, όπως φαίνεται στο σχήμα.

αν ρε είναι το ύψος του μη συμπληρωμένου τμήματος του κυλινδρικού δοχείου και, υποθέτοντας π = 3, η τιμή του d είναι:

α) 10/6
β) 6/11
γ) 12/6
δ) 13/6
ε) 6/14

Δείτε την απάντηση

Εναλλακτική β: 6/11

3. (UFRN) Ένας ισόπλευρος λαμπτήρας σε σχήμα κώνου βρίσκεται σε ένα γραφείο, έτσι ώστε όταν ανάβει, προβάλλει έναν κύκλο φωτός πάνω του (βλ. Εικόνα παρακάτω)

Εάν το ύψος της λάμπας, σε σχέση με το τραπέζι, είναι H = 27 cm, η περιοχή του φωτιζόμενου κύκλου, σε cm² θα είναι ίσο με:

α) 225π
β) 243π
γ) 250π
δ) 270π

Δείτε την απάντηση

Εναλλακτική b: 243π

Διαβάστε επίσης:

• Κώνος
• Όγκος κώνου
• αριθμός π