Γεωμετρικοί μετασχηματισμοί: μετάφραση, περιστροφή και ανάκλαση

Οι γεωμετρικοί μετασχηματισμοί είναι αλλαγές που πραγματοποιούνται σε εικόνες, όπως: μεταφορά, καθρέφτης, περιστροφή, μεγέθυνση ή σμίκρυνση. Μπορούν να κατασκευαστούν σε οποιοδήποτε σχήμα, είτε απλά γεωμετρικά σχήματα είτε σύνθετες εικόνες.

Αυτοί οι μετασχηματισμοί μας επιτρέπουν να δημιουργήσουμε νέες φιγούρες από τις αρχικές ή να αλλάξουμε τη θέση τους. Για να πραγματοποιήσουμε αυτούς τους μετασχηματισμούς πρέπει να χρησιμοποιήσουμε ένα σύστημα αναφοράς και μια τυπική μονάδα μέτρησης, όπως στο καρτεσιανό επίπεδο.

Το καρτεσιανό επίπεδο είναι ένα σύστημα συντεταγμένων σε ένα επίπεδο, όπου κάθε σημείο έχει μια μοναδική διεύθυνση. Αποτελείται από δύο αριθμημένους άξονες, τον x και τον y. Έτσι, ένα ζεύγος (x, y) δίνει την ακριβή θέση αυτού του σημείου.

Διατηρώντας τα σχήματα, δηλαδή διατηρώντας μήκη και γωνίες, μπορούμε να εκτελέσουμε τρεις γεωμετρικούς μετασχηματισμούς: μετάφραση, περιστροφή και ανάκλαση.

Για παράδειγμα, όταν μετακινούμε μια εικόνα σε μια νέα τοποθεσία, θα εκτελούμε μια μετάφραση. Αν το περιστρέψουμε γύρω από ένα σημείο, είναι περιστροφή. Αν αντικατοπτρίζουμε το σχήμα σε σχέση με έναν άξονα, κάνουμε μια αντανάκλαση.

instagram story viewer

Μετάφραση

Η μετάφραση συνίσταται στη μετακίνηση ενός σχήματος από το ένα σημείο στο άλλο στο επίπεδο, διατηρώντας το σχήμα, τον προσανατολισμό και το μέγεθός του.

Παράδειγμα
Τα δύο τρίγωνα της παρακάτω εικόνας είναι ίσα, δηλαδή ίσα. Μπορούμε να πούμε ότι το τρίγωνο ABC έχει μετακινηθεί στη δεύτερη θέση, που αντιπροσωπεύεται από το τρίγωνο A'B'C'.

Μετασχηματισμός γεωμετρικής μετάφρασης. — Το τρίγωνο ABC μεταφράστηκε ή μεταφέρθηκε.

Αντανάκλαση

Η αντανάκλαση συνίσταται στον καθρέφτη μιας εικόνας σε σχέση με μια ευθεία γραμμή, η οποία μπορεί να είναι οριζόντια, κάθετη ή κεκλιμένη. Αυτή η γραμμή ονομάζεται άξονας ανάκλασης.

Στην ανάκλαση, οι συντεταγμένες κάθε σημείου του αρχικού σχήματος αντιστρέφονται ως προς τον άξονα ανάκλασης.

Παράδειγμα
Στην ανάκλαση σε σχέση με τον άξονα x παρακάτω, οι συντεταγμένες των σημείων Α, Β και Γ, πέρασαν στα Α', Β' και Γ', ως εξής:

Α (-5, 3) ► Α' (-5, -3)

B (-6, 1) ► B' (-6, -1)

C (-2, 2) ► C' (-2, -2)

Με άλλα λόγια, κάθε σημείο Α, Β και Γ είναι η ίδια απόσταση από τον άξονα x, ανάκλασης, με τα σημεία Α', Β' και Γ'.

Περιστροφή

Η περιστροφή μιας εικόνας συνίσταται στην περιστροφή της σε σχέση με ένα σημείο του επιπέδου, που ονομάζεται κέντρο περιστροφής. Για να εκτελέσουμε την περιστροφή ενός σχήματος, πρέπει να λάβουμε υπόψη τον προσανατολισμό της περιστροφής (δεξιόστροφα ή αριστερόστροφα) και το μέτρο, σε μοίρες, της γωνίας περιστροφής.

Παράδειγμα
Το τρίγωνο ABC έχει περιστραφεί αριστερόστροφα μέσω γωνίας περιστροφής 45°. Το κέντρο περιστροφής είναι το σημείο Α, το οποίο επομένως παραμένει σταθερό.

Γεωμετρικοί μετασχηματισμοί αναγωγής και μεγέθυνσης

Κατά τη σμίκρυνση ή τη μεγέθυνση, οι διαστάσεις της εικόνας αυξάνονται ή μειώνονται, διατηρώντας την αναλογία διαστάσεων.

Σε αυτές τις περιπτώσεις, οι γωνίες παραμένουν ίδιες, αλλά τα μήκη και τα πλάτη αυξάνονται ή μειώνονται. Επομένως, το σχήμα της εικόνας διατηρείται, ενώ αλλάζει η περιοχή της.

Παράδειγμα

Ασκήσεις για γεωμετρικούς μετασχηματισμούς

Ασκηση 1

Το παρακάτω τετράπλευρο ΑΒΓΔ μεταφράζει ποια μετράει στις κατευθύνσεις x και y, στη θέση A'B'C'D';

Βλέπε Απάντηση

Για να απαντήσουμε, λαμβάνουμε οποιοδήποτε σημείο του τετράπλευρου ως αναφορά, για παράδειγμα, το σημείο Α.

Στην κατεύθυνση x, μετατοπίστηκε -5 και στην κατεύθυνση y, 2.

Άσκηση 2

Σκιαγράφησε την αντανάκλαση του πενταγώνου από την κάθετη γραμμή.

Βλέπε Απάντηση

Για να αντανακλά το πεντάγωνο σε σχέση με την κατακόρυφη γραμμή, πρέπει να αντιστρέψουμε κάθε ένα από τα σημεία. Για αυτό, κάθε σημείο στην αριστερή πλευρά πρέπει να έχει την ίδια απόσταση από τη γραμμή.

Το σημείο Γ στη δεξιά πλευρά απέχει 3 μονάδες, οπότε το ίδιο θα πρέπει να συμβεί και στη δεξιά πλευρά. Επαναλαμβάνοντας τη διαδικασία για τα άλλα σημεία, έχουμε:

Άσκηση 3

Το ορθογώνιο τρίγωνο από κάτω έχει περιστραφεί με το κέντρο περιστροφής στο σημείο Β. Απαντήστε τη φορά περιστροφής και μετρήστε τη γωνία περιστροφής.

Βλέπε Απάντηση

Το τρίγωνο ABC περιστράφηκε δεξιόστροφα σε σχέση με το σημείο Β στη θέση A'B'C'.

Για να προσδιορίσουμε τη γωνία περιστροφής, συνειδητοποιούμε ότι το τμήμα Α'Β' διαιρεί το τετράγωνο στο μισό, δηλαδή είναι διχοτόμος της ορθής γωνίας 90° και το διαιρεί στη μέση.

Με αυτόν τον τρόπο, το τρίγωνο περιστράφηκε κατά 45° δεξιόστροφα.

Δείτε επίσης:

Γεωμετρία
Επιπεδομετρία
Γεωμετρικά σχήματα
πολύγωνα

ΑΣΘ, Ραφαήλ. Γεωμετρικοί μετασχηματισμοί: μετάφραση, περιστροφή και ανάκλαση.Όλα έχουν σημασία, [ν.δ.]. Διαθέσιμο σε: https://www.todamateria.com.br/transformacoes-geometricas/. Πρόσβαση σε:

Δείτε και εσείς