Matrix: τι είναι, τύποι, λειτουργίες, παραδείγματα

Ο αρχηγείο Συνήθως χρησιμοποιείται για την οργάνωση δεδομένων πίνακα για τη διευκόλυνση της αντιμετώπισης προβλημάτων. Οι πληροφορίες μήτρας, είτε αριθμητικές είτε όχι, τακτοποιούνται σε γραμμές και στήλες.

Το σύνολο των πινάκων εξοπλισμένων με τις λειτουργίες του πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός και τα χαρακτηριστικά, ως ουδέτερο και αντίστροφο στοιχείο, σχηματίζουν μια μαθηματική δομή που επιτρέπει την εφαρμογή του σε διάφορους τομείς αυτής της μεγάλης περιοχής γνώσης.

Δείτε επίσης: Σχέση μεταξύ matrix και γραμμικών συστημάτων

Αναπαράσταση μήτρας

Πριν ξεκινήσετε τις μελέτες σε πίνακες, είναι απαραίτητο να καταρτίσετε κάποιους συμβολισμούς σχετικά με τις αναπαραστάσεις τους. Στο Οι πίνακες αντιπροσωπεύονται πάντα με κεφαλαία γράμματα. (A, B, C…), που συνοδεύονται από ευρετήρια, στα οποία το Ο πρώτος αριθμός υποδεικνύει τον αριθμό των σειρών και ο δεύτερος, τον αριθμό των στηλών.

Ο αριθμός γραμμών (οριζόντιες σειρές) και στήλες (κάθετες σειρές) μιας μήτρας καθορίζει την Σειρά. Ο πίνακας Α έχει τάξη m από n. Οι πληροφορίες που περιέχονται σε έναν πίνακα ονομάζονται

στοιχεία και είναι οργανωμένα σε παρένθεση, αγκύλες ή δύο κάθετες ράβδους, δείτε τα παραδείγματα:

Ο πίνακας Α έχει δύο σειρές και τρεις στήλες, οπότε η σειρά του είναι δύο με τρεις → Α_2x3.

Το Matrix B έχει μια σειρά και τέσσερις στήλες, οπότε η σειρά του είναι μία προς τέσσερις, έτσι ονομάζεται μήτρα γραμμής → Β_1x4.

Το Matrix C έχει τρεις σειρές και μία στήλη, και έτσι ονομάζεται μήτρα στήλης και η σειρά του είναι τρία προς ένα → C_3x1.

Μπορούμε γενικά να αντιπροσωπεύσουμε τα στοιχεία ενός πίνακα, δηλαδή μπορούμε να γράψουμε αυτό το στοιχείο χρησιμοποιώντας μια μαθηματική αναπαράσταση. Οτο γενικό στοιχείο θα αντιπροσωπεύεται με πεζά γράμματα (a, b, c…) και, όπως στην αναπαράσταση των συστοιχιών, έχει επίσης ένα ευρετήριο που δείχνει τη θέση του. Ο πρώτος αριθμός δείχνει τη σειρά στην οποία βρίσκεται το στοιχείο και ο δεύτερος αριθμός δείχνει τη στήλη στην οποία βρίσκεται.

Εξετάστε τον ακόλουθο πίνακα Α, θα παραθέσουμε τα στοιχεία του.

Παρατηρώντας το πρώτο στοιχείο που βρίσκεται στην πρώτη σειρά και στην πρώτη στήλη, δηλαδή, στη σειρά ένα και στη στήλη ένα, έχουμε τον αριθμό 4. Για να κάνουμε τη γραφή ευκολότερη, θα την δηλώσουμε με:

ο₁₁ → ένα στοιχείο γραμμής, μία στήλη

Έχουμε λοιπόν τα ακόλουθα στοιχεία του πίνακα Α_2x3:

ο₁₁ = 4

ο₁₂ =16

ο₁₃ = 25

ο₂₁ = 81

ο₂₂ = 100

ο₂₃ = 9

Σε γενικές γραμμές, μπορούμε να γράψουμε έναν πίνακα ως συνάρτηση των γενικών στοιχείων του, αυτό είναι το γενική μήτρα.

Ένας πίνακας με στήλες m σειρά και n αντιπροσωπεύεται από:

• Παράδειγμα

Προσδιορίστε τη μήτρα A = [a_ij ]_2x2, που έχει τον ακόλουθο νόμο για την εκπαίδευση_ij = ι² - 2ι. Από τα δεδομένα της δήλωσης, έχουμε ότι ο πίνακας Α είναι της τάξης δύο προς δύο, δηλαδή έχει δύο γραμμές και δύο στήλες, επομένως:

Επιπλέον, δόθηκε ο νόμος σχηματισμού μήτρας, δηλαδή, κάθε στοιχείο είναι ικανοποιημένο με τη σχέση με_ij = ι² - 2ι. Αντικαθιστώντας τις τιμές i και j στον τύπο, έχουμε:

ο₁₁ = (1)² - 2(1) = -1

ο₁₂ = (2)² - 2(1) = 2

ο₂₁ = (1)² - 2(2) = -3

ο₂₂ = (2)² - 2(2) = 0

Επομένως, ο πίνακας Α είναι:

Τύποι συστοιχιών

Ορισμένοι πίνακες αξίζουν ιδιαίτερης προσοχής, δείτε τώρα αυτούς τύποι συστοιχιών με παραδείγματα.

• τετραγωνική μήτρα

Ένας πίνακας είναι τετράγωνος όταν το ο αριθμός των γραμμών ισούται με τον αριθμό των στηλών. Αντιπροσωπεύουμε τον πίνακα που έχει n σειρές και n στήλες από τον Α_όχι (διαβάστε: τετραγωνικός πίνακας της τάξης n).

Σε τετραγωνικούς πίνακες, έχουμε δύο πολύ σημαντικά στοιχεία, το διαγώνιες: κύριες και δευτερεύουσες. Η κύρια διαγώνια σχηματίζεται από στοιχεία που έχουν ίσους δείκτες, δηλαδή είναι κάθε στοιχείο α_ij με i = j. Η δευτερεύουσα διαγώνια σχηματίζεται από στοιχεία α_ij με i + j = n +1, όπου το n είναι σειρά matrix.

• μήτρα ταυτότητας

Ο πίνακας ταυτότητας είναι ένας τετραγωνικός πίνακας που έχει όλαεσείςστοιχεία της κύριας διαγώνιας ίση με 1 και το άλλα στοιχεία ίσο με 0, ο νόμος περί σχηματισμού του είναι:

Υποδηλώνουμε αυτόν τον πίνακα με το I, όπου n είναι η τάξη του τετραγωνικού πίνακα, δείτε μερικά παραδείγματα:

• μήτρα μονάδας

Είναι ένας τετραγωνικός πίνακας της τάξης, δηλαδή έχει μια σειρά και μια στήλη και, επομένως, μόνο ένα στοιχείο.

Α = [-1]_1x1, Β = Ι₁ = (1)_1x1 και C = || 5 ||_1x1

Αυτά είναι παραδείγματα ενιαίων πινάκων, με έμφαση στη μήτρα Β, η οποία είναι α μήτρα ταυτότητας μονάδας.

• μηδενική μήτρα

Ένας πίνακας λέγεται ότι είναι μηδενικός εάν όλα τα στοιχεία του είναι μηδέν. Αντιπροσωπεύουμε έναν μηδενικό πίνακα της τάξης m by n από O_mxn.

Η μήτρα Ο είναι μηδενική της τάξης 4.

• απέναντι μήτρα

Εξετάστε δύο πίνακες ίσης τάξης: A = [a_ij]_mxn και B = [b_ij]_mxn. Αυτοί οι πίνακες θα ονομάζονται αντίθετοι εάν, και μόνο εάν, το_ij = -β_ij. Ετσι, τα αντίστοιχα στοιχεία πρέπει να είναι αντίθετοι αριθμοί.

Μπορούμε να αντιπροσωπεύσουμε τον πίνακα B = -A.

• μεταφερόμενη μήτρα

Δύο πίνακες A = [a_ij]_mxn και B = [b_ij]_nxm αυτοί είναι μεταφέρθηκε εάν, και μόνο εάν, το_ij = β_γ , δηλαδή, δεδομένου ενός πίνακα A, για να βρείτε τη μεταφορά του, πάρτε απλώς τις γραμμές ως στήλες.

Η μεταφορά του πίνακα Α συμβολίζεται με το Α^Τ. Δείτε το παράδειγμα:

Δείτε περισσότερα: Αντίστροφη μήτρα: τι είναι και πώς να επαληθευτεί

Λειτουργίες Matrix

Γενική αναπαράσταση ενός μήτρα n x m.

Το σύνολο των πινάκων έχει τις λειτουργίες ενόςπολύ καλά καθορισμένη προσθήκη και πολλαπλασιασμός, δηλαδή, όποτε λειτουργούμε δύο ή περισσότερους πίνακες, το αποτέλεσμα της λειτουργίας ανήκει ακόμα στο σύνολο των πινάκων. Ωστόσο, τι γίνεται με τη λειτουργία αφαίρεσης; Κατανοούμε αυτή τη λειτουργία ως το αντίστροφο της προσθήκης (αντίθετη μήτρα), η οποία είναι επίσης πολύ καλά καθορισμένη.

Πριν ορίσετε τις λειτουργίες, ας κατανοήσουμε τις ιδέες του αντίστοιχο στοιχείο και ισότητα των πινάκων. Αντίστοιχα στοιχεία είναι εκείνα που καταλαμβάνουν την ίδια θέση σε διαφορετικούς πίνακες, δηλαδή βρίσκονται στην ίδια σειρά και στήλη. Προφανώς οι συστοιχίες πρέπει να είναι της ίδιας σειράς για να υπάρχουν στοιχεία που ταιριάζουν. Κοίτα:

Τα στοιχεία 14 και -14 είναι αντίστοιχα στοιχεία αντίθετων πινάκων Α και Β, καθώς καταλαμβάνουν την ίδια θέση (ίδια γραμμή και στήλη).

Δύο πίνακες θα λέγονται ίσοι αν και μόνο αν τα αντίστοιχα στοιχεία είναι ίδια. Έτσι, δεδομένου του πίνακα A = [a_ij]_mxn και B = [b_ij]_mxn, αυτά θα είναι τα ίδια εάν, και μόνο εάν, το_ij = β_ij για οποιοδήποτε i.

• Παράδειγμα

Γνωρίζοντας ότι οι πίνακες A και B είναι ίσοι, προσδιορίστε τις τιμές των x και t.

Δεδομένου ότι οι πίνακες Α και Β είναι ίσοι, τότε τα αντίστοιχα στοιχεία πρέπει να είναι ίδια, επομένως:

x = -1 και t = 1

• Προσθήκη και αφαίρεση πινάκων

Οι λειτουργίες του προσθήκη και αφαίρεση μεταξύ πινάκων είναι αρκετά διαισθητικοί, αλλά πρώτα πρέπει να πληρούται μια προϋπόθεση. Για να εκτελέσετε αυτές τις λειτουργίες, είναι πρώτα απαραίτητο να επαληθεύσετε ότι το οι παραγγελίες πίνακα είναι ίσες.

Μόλις επαληθευτεί αυτή η συνθήκη, η προσθήκη και αφαίρεση της μήτρας πραγματοποιείται με την προσθήκη ή αφαίρεση των αντίστοιχων στοιχείων των πινάκων. Εξετάστε τους πίνακες A = [a_ij]_mxn και B = [b_ij]_mxn, έπειτα:

A + B = [α_ij + β_ij] _mxn

Α - Β = [α_ij - Β_ij] _mxn

• Παράδειγμα

Εξετάστε τους πίνακες A και B παρακάτω, προσδιορίστε τα A + B και A - B.

Διαβάστε επίσης: Λειτουργίες ολόκληρου αριθμού

• Πολλαπλασιασμός ενός πραγματικού αριθμού με μήτρα

Ο πολλαπλασιασμός ενός πραγματικού αριθμού σε μια μήτρα (επίσης γνωστός ως πολλαπλασιασμός μήτρας) με μια βαθμίδα δίνεται πολλαπλασιάζοντας κάθε στοιχείο της μήτρας με τη βαθμίδα.

Ας A = [a_ij]_mxn έναν πίνακα και έναν πραγματικό αριθμό, οπότε:

t · A = [t · α_ij]_mxn

Δείτε το παράδειγμα:

• Πολλαπλασιασμός μήτρας

Ο πολλαπλασιασμός των πινάκων δεν είναι τόσο ασήμαντος όσο η προσθήκη και αφαίρεση αυτών. Πριν από την εκτέλεση του πολλαπλασιασμού, πρέπει επίσης να ικανοποιηθεί μια συνθήκη σχετικά με τη σειρά των πινάκων. Εξετάστε τους πίνακες Α_mxn και Β_nxr.

Για να εκτελέσετε τον πολλαπλασιασμό, το Ο αριθμός των στηλών στον πρώτο πίνακα πρέπει να ισούται με τον αριθμό των γραμμών στη δεύτερη. Ο πίνακας προϊόντων (που προέρχεται από τον πολλαπλασιασμό) έχει μια σειρά που δίνεται από τον αριθμό των σειρών στην πρώτη και τον αριθμό των στηλών στη δεύτερη.

Για να εκτελέσουμε τον πολλαπλασιασμό μεταξύ των πινάκων A και B, πρέπει να πολλαπλασιάσουμε κάθε μία από τις σειρές με όλες τις στήλες ως εξής: το πρώτο στοιχείο του Α πολλαπλασιάζεται με το πρώτο στοιχείο του Β και στη συνέχεια προστίθεται στο δεύτερο στοιχείο του Α και πολλαπλασιάζεται με το δεύτερο στοιχείο του Β, και έτσι διαδοχικώς. Δείτε το παράδειγμα:

Διαβάστε επίσης: Το Θεώρημα του Laplace: ξέρετε πώς και πότε να το χρησιμοποιήσετε

λύσεις ασκήσεις

ερώτηση 1 - (ΗΠΑ ΚΑΙ. Londrina - PR) Αφήστε τους πίνακες A και B να είναι, αντιστοίχως, 3 x 4 και p x q και εάν ο πίνακας A · B έχει τάξη 3 x 5, τότε είναι αλήθεια ότι:

α) p = 5 και q = 5

b) p = 4 και q = 5

c) p = 3 και q = 5

δ) p = 3 και q = 4

ε) p = 3 και q = 3

Λύση

Έχουμε τη δήλωση ότι:

Ο_3x4 · Β_pxq = Γ_3x5

Από τη συνθήκη για τον πολλαπλασιασμό δύο πινάκων, έχουμε ότι το προϊόν υπάρχει μόνο εάν ο αριθμός στηλών στην πρώτη είναι ίσος με τον αριθμό σειρών στη δεύτερη, οπότε p = 4. Και γνωρίζουμε επίσης ότι ο πίνακας προϊόντος δίνεται από τον αριθμό των σειρών στην πρώτη με τον αριθμό των στηλών στη δεύτερη, οπότε q = 5.

Επομένως, p = 4 και q = 5.

Α: Εναλλακτική β

Ερώτηση 2 - (Vunesp) Προσδιορίστε τις τιμές των x, y και z, στην ακόλουθη ισότητα, που περιλαμβάνει 2 x 2 πραγματικούς πίνακες.

Λύση

Ας εκτελέσουμε τις λειτουργίες μεταξύ των συστοιχιών και μετά την ισότητα μεταξύ τους.

Για να προσδιορίσουμε την τιμή των x, y και z, θα λύσουμε το γραμμικό σύστημα. Αρχικά, ας προσθέσουμε εξισώσεις (1) και (2).

2x - 4 = 0

2x = 4

x = 2

Αντικαθιστώντας την τιμή του x που βρίσκεται στην εξίσωση (3), έχουμε:

2² = 2ζ

2z = 4

z = 2

Και τέλος, αντικαθιστώντας τις τιμές των x και z που βρίσκονται στην εξίσωση (1) ή (2), έχουμε:

x + y - z = 0

2 + y - 2 = 0

y = 0

Επομένως, η λύση στο πρόβλημα δίνεται από το S = {(2, 0, 2)}.

από τον Robson Luiz
Καθηγητής μαθηματικών