Κάντε ασκήσεις σε τρίγωνα με αυτή τη λίστα που έχουμε ετοιμάσει. Οι ασκήσεις εξηγούνται βήμα προς βήμα, ώστε να ξεκαθαρίσετε τις αμφιβολίες σας και να μάθετε τα πάντα για αυτό το τρίγωνο πολύγωνο.
ερώτηση 1
Να αναλύσετε το παρακάτω σχήμα που σχηματίζεται από τρίγωνα και να προσδιορίσετε το μέτρο του τμήματος ΕΔ, παράλληλο στο ΑΒ, γνωρίζοντας ότι:
CD = 15
μ.Χ. = 1
AB = 8
Δεδομένου ότι το DE είναι παράλληλο με το AB, τα τρίγωνα CDE και CAB είναι παρόμοια. Μπορούμε έτσι να γράψουμε τις αναλογίες μεταξύ των αντίστοιχων πλευρών τους
AC = AD + DC = 1 + 15 = 16.
Ερώτηση 2
Στην παρακάτω εικόνα, προσδιορίστε την τιμή της γωνίας x σε μοίρες.
Απάντηση: 110 μοίρες
Σύμφωνα με το θεώρημα της εξωτερικής γωνίας, μια γωνία έξω από μια κορυφή είναι ίση με το άθροισμα των εσωτερικών γωνιών των δύο άλλων.
x = 50 μοίρες + 60 μοίρες = 110 μοίρες
Ένας άλλος τρόπος για να λύσετε την ερώτηση είναι να προσθέσετε τις τρεις εσωτερικές γωνίες και να τις κάνετε ίσες με 180º. Έτσι, καλώντας τη συμπληρωματική εσωτερική γωνία σε x y, η τιμή της είναι
:
50 + 60 + y = 180
110 + y = 180
y = 180 - 110
y = 70º
Αν το y είναι ίσο με 70 μοίρες, το x είναι πόσο μακριά χρειάζεται για να φτάσουμε στις 180.
x = 180 μοίρες - 70 μοίρες = 110 μοίρες
ερώτηση 3
Προσδιορίστε το μήκος του τμήματος x.
Απάντηση: 2,4μ
Το σχήμα σχηματίζεται από δύο παρόμοια τρίγωνα. Τα δύο έχουν ορθές γωνίες και ίσες γωνίες απέναντι από την κοινή κορυφή μεταξύ τους. Στην περίπτωση της ομοιότητας ΑΑ (γωνίας-γωνίας), επιβεβαιώνουμε την ομοιότητα.
Λαμβάνοντας την αναλογία των αντίστοιχων πλευρών τους, έχουμε:
ερώτηση 4
Το παρακάτω σχήμα δείχνει ένα ορθογώνιο με βάση 8 cm και ύψος 1 cm, εγγεγραμμένο σε τρίγωνο. Η βάση του ορθογωνίου συμπίπτει με τη βάση του τριγώνου. Να προσδιορίσετε το μέτρο του ύψους h.
Απάντηση: h = 2 cm
Μπορούμε να προσδιορίσουμε δύο παρόμοια τρίγωνα: το ένα με βάση 12 cm και ύψος x cm και το άλλο με βάση 8 cm (βάση του ορθογωνίου) και ύψος h.
Αναλογίζοντας τις αντίστοιχες πλευρές, έχουμε:
Δείτε ότι το x είναι ίσο με το ύψος h συν το ύψος του ορθογωνίου.
x = h + 1
Αντικατάσταση:
ερώτηση 5
Ο Fernando είναι ξυλουργός και χωρίζει ξύλινες πηχάκια διαφορετικού μήκους για να χτίσει τριγωνικές κατασκευές.
Μεταξύ των ακόλουθων επιλογών τριών πηχών, η μόνη που μπορεί να σχηματίσει τρίγωνο είναι
α) 3 cm, 7 cm, 11 cm
β) 6 cm, 4 cm, 12 cm
γ) 3 cm, 4 cm, 5 cm
δ) 7 cm, 9 cm, 18 cm
ε) 2 cm, 6 cm, 9 cm
Η προϋπόθεση για την ύπαρξη τριγώνου λέει ότι κάθε πλευρά του πρέπει να είναι μικρότερη από το άθροισμα των άλλων δύο.
Η μόνη επιλογή που ικανοποιεί αυτή την προϋπόθεση είναι το γράμμα c.
ερώτηση 6
Στο παρακάτω τρίγωνο, οι γραμμές και τα τμήματα: πράσινο, κόκκινο, μπλε και μαύρο είναι: αντίστοιχα:
Απάντηση:
Πράσινο: διχοτόμος. Είναι η γραμμή που κόβει ένα τμήμα στο μέσο του σε γωνία 90°.
Κόκκινο: μέτριο. Είναι το τμήμα που εκτείνεται από μια κορυφή έως το μέσο της απέναντι πλευράς.
Μπλε: διχοτόμος. Χωρίζει μια γωνία σε δύο ίσες γωνίες.
Μαύρο: ύψος. Είναι το τμήμα που αφήνει μια κορυφή και πηγαίνει στην αντίθετη πλευρά, σχηματίζοντας γωνία 90º.
ερώτηση 7
(ENCCEJA 2012)Ένα πάπλωμα συνονθύλευμα, με ορθογώνιο σχήμα, γίνεται με τέσσερα τριγωνικά κομμάτια υφάσματος, όπως φαίνεται στο σχήμα.
Σκεφτείτε ότι οι ραφές κατά μήκος των διαγωνίων αυτού του παπλώματος είναι απόλυτα ίσιες.
Το κομμάτι Α του παπλώματος, που έχει σχήμα τριγώνου, μπορεί να ταξινομηθεί ανάλογα με τις εσωτερικές του γωνίες και πλευρές, αντίστοιχα, ως
α) οξεία και ισόπλευρη.
β) αμβλύ και σκαλινό.
γ) αμβλεία και ισοσκελή.
δ) ορθογώνιο και ισοσκελές.
Το πτερύγιο Α είναι αμβλύ επειδή έχει αμβλεία γωνία μεγαλύτερη από 90º.
Δεδομένου ότι το πάπλωμα είναι ορθογώνιο και οι διαχωρισμοί των τριγώνων σχηματίζονται από δύο διαγώνιες, οι εσωτερικές πλευρές είναι ίσες, δύο επί δύο.
Καθώς το πτερύγιο έχει δύο ίσες πλευρές, είναι ισοσκελές.
ερώτηση 8
Στο τρίγωνο ABC που φαίνεται στο παρακάτω σχήμα, η AD είναι η διχοτόμος της εσωτερικής γωνίας στο Α και . Η εσωτερική γωνία στο Α είναι ίση με
α) 60º
β) 70º
γ) 80º
δ) 90º
Το τμήμα AD είναι διχοτόμος και διαιρεί τη γωνία Α σε δύο ίσες γωνίες. Εφόσον το τρίγωνο ADB έχει δύο ίσες πλευρές, AD και BD, είναι ισοσκελές και οι γωνίες βάσης είναι ίσες.
Έτσι, έχουμε τη γωνία 60º και άλλες τρεις ίσες.
Καλώντας x την άγνωστη γωνία, έχουμε:
60 + x + x + x = 180
60 + 3x = 180
3x = 180 - 60
3x = 120
x = 120/3
x = 40
Αν x = 40 και η γωνία στο Α σχηματίζεται από 2x, τότε:
A = 2x
A = 2,40 = 80 μοίρες
ερώτηση 9
(Enem 2011) Για να προσδιορίσει την απόσταση από ένα σκάφος στην παραλία, ένας πλοηγός χρησιμοποίησε την ακόλουθη διαδικασία: από το σημείο Α, μέτρησε την οπτική γωνία στοχεύοντας σε ένα σταθερό σημείο P στην παραλία. Διατηρώντας το σκάφος στην ίδια κατεύθυνση, προχώρησε σε ένα σημείο Β έτσι ώστε να είναι δυνατό να φανεί το ίδιο σημείο Ρ από την παραλία, όμως, υπό οπτική γωνία 2α. Το σχήμα απεικονίζει αυτή την κατάσταση:
Ας υποθέσουμε ότι ο πλοηγός είχε μετρήσει τη γωνία α = 30º και, φτάνοντας στο σημείο Β, επαλήθευσε ότι το σκάφος είχε διανύσει την απόσταση AB = 2000 m. Με βάση αυτά τα δεδομένα και διατηρώντας την ίδια τροχιά, η μικρότερη απόσταση από το σκάφος μέχρι το σταθερό σημείο P θα είναι
α) 1000 μ.
β) 1 000√3 m.
γ) 2 000√3/3 μ.
δ) 2000 μ.
ε) 2 000√3 m
Ανάλυση
Δεδομένα
= 30º
= 2000 μέτρα
Βήμα 1: Συμπλήρωμα 2.
αν η γωνία είναι 30 μοίρες, 2
= 60º και το συμπληρωματικό του, αυτό που λείπει για 180º, είναι 120º.
180 - 60 = 120
Βήμα 2: Προσδιορίστε τις εσωτερικές γωνίες του τριγώνου ABP.
Εφόσον το άθροισμα των εσωτερικών γωνιών ενός τριγώνου είναι 180°, η γωνία πρέπει να είναι 30º, γιατί:
30 + 120 + P = 180
P = 180 - 120 - 30
P = 30
Έτσι, το τρίγωνο ΑΒΠ είναι ισοσκελές και οι πλευρές ΑΒ και ΒΡ έχουν το ίδιο μήκος.
Βήμα 3: Προσδιορίστε τη μικρότερη απόσταση μεταξύ του σκάφους και του σημείου P.
Η μικρότερη απόσταση είναι το κάθετο τμήμα μεταξύ του σημείου P και της διακεκομμένης γραμμής, η οποία αντιπροσωπεύει τη διαδρομή του σκάφους.
Το τμήμα BP είναι η υποτείνουσα του ορθογωνίου τριγώνου.
Το ημίτονο των 60° συσχετίζει την απόσταση x και την υποτείνουσα BP.
συμπέρασμα
Η μικρότερη απόσταση μεταξύ του σκάφους και του σημείου P στην παραλία είναι 1000 Μ.
ερώτηση 10
(UERJ - 2018)
Μαζεύω αυτό το φως του ήλιου γύρω μου,
Στο πρίσμα μου διασκορπίζω και ανασυνθέτω:
Φήμη επτά χρωμάτων, λευκή σιωπή.
JOSÉ SARAMAGO
Στην παρακάτω εικόνα, το τρίγωνο ABC αντιπροσωπεύει ένα επίπεδο τμήμα παράλληλο στη βάση ενός ευθύγραμμου πρίσματος. Οι ευθείες n και n' είναι κάθετες στις πλευρές AC και AB, αντίστοιχα, και BÂC = 80°.
Το μέτρο της γωνίας θ μεταξύ n και n' είναι:
α) 90º
β) 100 μοίρες
γ) 110º
δ) 120º
Στο τρίγωνο με κορυφή Α 80º και βάση που σχηματίζεται από την ακτίνα φωτός, παράλληλα με τη μεγαλύτερη βάση, μπορούμε να προσδιορίσουμε τις εσωτερικές γωνίες.
Καθώς το πρίσμα είναι ευθύγραμμο και η φωτεινή βάση του τριγώνου με κορυφή στο Α είναι παράλληλη με τη μεγαλύτερη βάση, αυτές οι γωνίες είναι ίσες. Εφόσον το άθροισμα των εσωτερικών γωνιών ενός τριγώνου ισούται με 180°, έχουμε:
80 + x + x = 180
2x = 180 - 80
2x = 100
x = 100/2
x = 50
Προσθέτοντας τη γωνία 90º που σχηματίζεται από τις διακεκομμένες γραμμές, έχουμε 140º.
Έτσι, οι εσωτερικές γωνίες του μικρότερου τριγώνου στραμμένες προς τα κάτω είναι:
180–140 = 40
Χρησιμοποιώντας ξανά το άθροισμα των εσωτερικών γωνιών, έχουμε:
40 + 40 + = 180
= 180 - 80
= 100º
Συνεχίστε τις σπουδές σας στα τρίγωνα:
- Τρίγωνο: τα πάντα για αυτό το πολύγωνο
- Ταξινόμηση τριγώνων
- Περιοχή τριγώνου: πώς να υπολογίσετε;
- Τριγωνομετρία στο ορθογώνιο τρίγωνο
ΑΣΘ, Ραφαήλ. Εξηγούνται ασκήσεις σε τρίγωνα.Όλα έχουν σημασία, [ν.δ.]. Διαθέσιμο σε: https://www.todamateria.com.br/exercicios-sobre-triangulos-explicados/. Πρόσβαση σε:
Δείτε και εσείς
- Ταξινόμηση Τριγώνων
- Τρίγωνο: τα πάντα για αυτό το πολύγωνο
- Περιοχή τριγώνου
- Ασκήσεις σε τετράπλευρα με επεξηγημένες απαντήσεις
- Ασκήσεις σε απαντημένες γωνίες
- Ομοιότητα τριγώνων: σχολιασμένες και λυμένες ασκήσεις
- Αξιοσημείωτα σημεία ενός τριγώνου: τι είναι και πώς να τα βρείτε
- Προϋπόθεση ύπαρξης τριγώνου (με παραδείγματα)
