Οι ασκήσεις για την περιφέρεια και τον κύκλο είναι πάντα σε αξιολογήσεις και εισαγωγικές εξετάσεις. Εξασκηθείτε με αυτήν τη λίστα ασκήσεων και λύστε τις αμφιβολίες σας με τις λύσεις που εξηγούνται βήμα προς βήμα.
Για να οργανώσουν τη ροή των οχημάτων στην κυκλοφορία, οι μηχανικοί και οι σχεδιαστές χρησιμοποιούν συχνά κυκλικούς κόμβους αντί για φανάρια, μια λύση που μπορεί να είναι πιο αποτελεσματική σε πολλές περιπτώσεις. Σε έναν κυκλικό κόμβο, το τμήμα που συνδέει το μέσο της λωρίδας σε δύο άκρα είναι 100 m. Ένας οδηγός που ολοκληρώνει έναν γύρο θα ταξιδέψει
δεδομένα: χρήση =3.
α) 100 μ.
β) 150 μ.
γ) 300 μ.
δ) 200 μ.
Το τμήμα που συνδέει το μέσο της λωρίδας σε δύο άκρα είναι η διάμετρος του κυκλικού κόμβου.
Για να υπολογίσουμε το μήκος του κυκλικού κόμβου, χρησιμοποιούμε:
Οπου,
C είναι το μήκος,
r είναι η ακτίνα
Εφόσον η διάμετρος είναι ίση με τη διπλάσια ακτίνα, έχουμε:
Άρα το μήκος θα είναι:
Σε μια πλήρη στροφή, ο οδηγός θα διανύσει 300 μέτρα.
Ο δίσκος φρένων είναι ένα κυκλικό κομμάτι μετάλλου που αποτελεί μέρος του συστήματος πέδησης ενός οχήματος. Έχει τη λειτουργία να καθυστερεί ή να σταματά την περιστροφή των τροχών.
Για την κατασκευή μιας παρτίδας 500 δίσκων φρένων με διάμετρο 20 cm και κενή κεντρική περιοχή για τη σύνδεση της πλήμνης τροχός, διαμέτρου 12 εκ., ένας κατασκευαστής θα χρησιμοποιήσει, σε τετραγωνικά μέτρα, σύνολο λαμαρίνας περίπου σε:
δεδομένα: χρήση .
α) 1 μ.
β) 10 μ.
γ) 100 μέτρα
δ) 1000
Μπορούμε να υπολογίσουμε το μεγαλύτερο εμβαδόν και το μικρότερο το κεντρικό.
Το εμβαδόν ενός κύκλου υπολογίζεται από:
μεγαλύτερη έκταση
Δεδομένου ότι η διάμετρος είναι 20 cm, η ακτίνα είναι 10 cm. Σε μέτρα, 0,1 μ.
κεντρική περιοχή
Περιοχή δίσκου = μεγαλύτερη επιφάνεια - μικρότερη επιφάνεια
περιοχή δίσκου =
Πώς είναι οι 500 δίσκοι:
αντικαθιστώντας με την τιμή του 3,14 που αναφέρεται στη δήλωση:
Ένα λούνα παρκ κατασκευάζει μια ρόδα διαμέτρου 22 μέτρων. Για τη στερέωση των καθισμάτων κατασκευάζεται ένα ατσάλινο πλαίσιο σε σχήμα κύκλου. Αν κάθε κάθισμα απέχει 2 μέτρα από το επόμενο και λαμβάνοντας υπόψη = 3, ο μέγιστος αριθμός ατόμων που μπορούν να παίξουν αυτό το παιχνίδι ταυτόχρονα είναι
α) 33.
β) 44.
γ) 55.
δ) 66.
Πρώτα πρέπει να υπολογίσουμε το μήκος του κύκλου.
Δεδομένου ότι τα καθίσματα απέχουν 2 μέτρα μεταξύ τους, έχουμε:
66 / 2 = 33 θέσεις
Ένα ποδήλατο είναι εξοπλισμένο με τροχούς 26 ιντσών, μετρημένη σε διάμετρο. Η απόσταση που διανύθηκε σε μέτρα μετά από δέκα πλήρεις στροφές των τροχών είναι
1 ίντσα = 2,54 cm
α) 6,60 μ
β) 19,81 μ
γ) 33,02 μ
δ) 78,04 μ
Για να υπολογίσουμε μια πλήρη στροφή σε ίντσες, κάνουμε:
Σε εκατοστά:
C = 78. 2,54 = 198,12 cm
Σε μέτρα:
C = 1,9812 m
σε δέκα γύρους
19,81 μ
Ένας σύλλογος κατασκευάζει ένα κυκλικό περίπτερο διαμέτρου 10 μέτρων για να εξυπηρετεί πελάτες που φτάνουν από όλες τις κατευθύνσεις. Οι αγωγοί και τα υδραυλικά έχουν ήδη τοποθετηθεί, τώρα θα κατασκευαστεί βάση από σκυρόδεμα πάχους 5 εκατοστών. Πόσα κυβικά μέτρα σκυροδέματος θα χρειαστούν για να γεμίσει αυτή η περιοχή;
σκεφτείτε .
α) 3,10 m³
β) 4,30 m³
γ) 7,85 m³
δ) 12,26 m³
Υπολογίζοντας πόσα κυβικά θα χρειαστούν, είναι να υπολογιστεί ο όγκος της βάσης.
Για να υπολογίσουμε τον όγκο, προσδιορίζουμε το εμβαδόν και το πολλαπλασιάζουμε με το ύψος, στην περίπτωση αυτή 10 cm.
Πολλαπλασιάζοντας με το ύψος των 10 cm ή 0,1 m:
αντικαθιστώντας με 3.14:
Ο πλανήτης Γη έχει ακτίνα περίπου 6378 km. Ας υποθέσουμε ότι ένα πλοίο βρίσκεται σε ευθεία διαδρομή που κινείται στον Ειρηνικό Ωκεανό μεταξύ των σημείων Β και Γ.
Λαμβάνοντας τη Γη ως τέλειο κύκλο, θεωρήστε ότι η γωνιακή μετατόπιση του πλοίου ήταν 30º. Υπό αυτές τις συνθήκες και λαμβάνοντας υπόψη = 3, η απόσταση σε χιλιόμετρα που διένυσε το πλοίο ήταν
α) 1557 χλμ
β) 2 364 χλμ
γ) 2 928 χλμ
δ) 3.189 χλμ
1 πλήρης στροφή = 360 μοίρες
Με ακτίνα 6 378 km, η περιφέρεια είναι:
Κάνοντας έναν κανόνα των τριών:
(Ενέμ 2016) Το έργο για δάσωση πλατείας περιλαμβάνει την κατασκευή κυκλικού παρτέρι. Αυτή η τοποθεσία θα αποτελείται από μια κεντρική περιοχή και μια κυκλική ζώνη γύρω από αυτήν, όπως φαίνεται στο σχήμα.
Θέλετε η κεντρική περιοχή να είναι ίση με την περιοχή της σκιασμένης κυκλικής λωρίδας.
Η σχέση μεταξύ των ακτίνων της κλίνης (R) και της κεντρικής περιοχής (r) πρέπει να είναι
α) R = 2r
β) R = r√2
w)
ρε)
Είναι)
κεντρική περιοχή
Περιοχή κυκλικής ζώνης
Δεδομένου ότι η κεντρική περιοχή πρέπει να είναι ίση με την κυκλική σκιασμένη περιοχή:
Το σχήμα αντιπροσωπεύει έναν κύκλο λ με κέντρο C. Τα σημεία Α και Β ανήκουν στον κύκλο του λ και το σημείο P ανήκει στον κύκλο. Είναι γνωστό ότι PC = PA = k και ότι PB = 5, σε μονάδες μήκους.
Το εμβαδόν του λ, σε μονάδες εμβαδού, είναι ίσο με
α) π(25 - k²)
β) π(k² + 5k)
γ) π(k² + 5)
δ) π(5k² + k)
ε) π(5k² + 5)
Δεδομένα
- CA = CB = ακτίνα
- PC = AP = k
- PB = 5
Στόχος: υπολογίστε το κυκλικό εμβαδόν.
Η κυκλική περιοχή είναι , όπου η ακτίνα είναι το τμήμα CA ή CB.
Εφόσον οι απαντήσεις είναι ως προς το k, πρέπει να γράψουμε την ακτίνα ως προς το k.
Ανάλυση
Μπορούμε να αναγνωρίσουμε δύο ισοσκελή τρίγωνα.
Αφού PC = PA, το τρίγωνο είναι ισοσκελές, και οι γωνίες βάσης
είναι
, ειναι ιδιοι.
Αφού CA = CB, το τρίγωνο είναι ισοσκελές, και οι γωνίες βάσης
είναι
, ειναι ιδιοι.
Έτσι, τα δύο τρίγωνα είναι παρόμοια λόγω της περίπτωσης ΑΑ (γωνία-γωνία).
Γράφοντας την αναλογία μεταξύ των αναλογιών δύο όμοιων πλευρών, , έχουμε:
Αφού θέλουμε την κυκλική περιοχή:
(UNICAMP-2021) Το παρακάτω σχήμα δείχνει τρεις κύκλους που εφάπτονται δύο επί δύο και τις τρεις εφαπτόμενες στην ίδια ευθεία. Οι ακτίνες των μεγαλύτερων κύκλων έχουν μήκος R και ο μικρότερος κύκλος έχει ακτίνα μήκους r.
Ο λόγος R/r είναι ίσος με
3.
√10.
4.
2√5.
Ρυθμίζοντας τις ακτίνες σχηματίζουμε ορθογώνιο τρίγωνο με υποτείνουσα R+r και σκέλη R και R - r.
Εφαρμόζοντας το Πυθαγόρειο Θεώρημα:
(Enem) Σκεφτείτε ότι τα τετράγωνα μιας γειτονιάς έχουν σχεδιαστεί στο καρτεσιανό σύστημα, με την αρχή να είναι η διασταύρωση των δύο πιο πολυσύχναστων δρόμων σε αυτήν τη γειτονιά. Σε αυτό το σχέδιο, οι δρόμοι αγνοούνται τα πλάτη τους και όλα τα τετράγωνα είναι τετράγωνα με το ίδιο εμβαδόν και το μέτρο της πλευράς του είναι η μονάδα συστήματος.
Ακολουθεί μια αναπαράσταση αυτής της κατάστασης, στην οποία τα σημεία Α, Β, Γ και Δ αντιπροσωπεύουν εμπορικές εγκαταστάσεις σε αυτήν τη γειτονιά.
Ας υποθέσουμε ότι ένα κοινοτικό ραδιόφωνο, με ασθενές σήμα, εγγυάται μια περιοχή κάλυψης για κάθε εγκατάσταση που βρίσκεται σε ένα σημείο του οποίου οι συντεταγμένες ικανοποιούν την ανισότητα: x² + y² – 2x – 4y - 31 ≤ 0
Προκειμένου να αξιολογηθεί η ποιότητα του σήματος και να υπάρξει μελλοντική βελτίωση, η τεχνική βοήθεια του ασύρματου πραγματοποίησε επιθεώρηση να γνωρίζουν ποιες εγκαταστάσεις βρίσκονταν εντός της περιοχής κάλυψης, καθώς αυτές μπορούν να ακούσουν το ραδιόφωνο ενώ οι άλλες όχι.
α) Α και Γ.
β) Β και Γ.
γ) Β και Δ.
δ) Α, Β και Γ.
ε) Β, Γ και Δ.
Η εξίσωση της περιφέρειας είναι:
Η εξίσωση του προβλήματος είναι:
Το κέντρο ενός κύκλου είναι το σημείο C(a, b). Για να προσδιορίσουμε τις συντεταγμένες, εξισώνουμε τους συντελεστές παρόμοιων όρων.
Για όρους σε x:
Για όρους σε y:
Το κέντρο του κύκλου είναι το σημείο C(1, 2)
Για να βρούμε την ακτίνα εξισώνουμε τους ελεύθερους όρους των x και y:
Το ραδιοσήμα θα εξυπηρετεί εγκαταστάσεις στην περιοχή της περιφέρειας με κέντρο C(1, 2) και ακτίνα μικρότερη ή ίση με 6. Σημειώνοντας το σχέδιο στο αεροπλάνο:
Οι εγκαταστάσεις Α, Β και Γ θα λάβουν το ραδιοσήμα.