Το Θεώρημα του D'Alembert

Το θεώρημα του D'Alembert είναι μια άμεση συνέπεια του υπολοίπου θεώρηματος, το οποίο αφορά τη διαίρεση του πολυωνύμου από το διωνυμικό του τύπου x - a. Το υπόλοιπο θεώρημα λέει ότι ένα πολυώνυμο G (x) διαιρούμενο με ένα διωνυμικό x - a θα έχει το υπόλοιπο R ίσο με το P (a), για
x = α. Ο Γάλλος μαθηματικός D'Alembert απέδειξε, λαμβάνοντας υπόψη το παραπάνω θεώρημα, ότι ένα πολυώνυμο οποιοδήποτε Q (x) θα διαιρείται με x - a, δηλαδή, το υπόλοιπο της διαίρεσης θα είναι ίσο με μηδέν (R = 0) εάν P (a) = 0.
Αυτό το θεώρημα διευκόλυνε τον υπολογισμό της διαίρεσης του πολυωνύμου με το διωνυμικό (x –a), οπότε δεν είναι απαραίτητο να επιλυθεί ολόκληρη η διαίρεση για να γνωρίζουμε εάν το υπόλοιπο είναι ίσο ή διαφορετικό από το μηδέν.
Παράδειγμα 1
Υπολογίστε το υπόλοιπο της διαίρεσης (x2 + 3x - 10): (x - 3).
Όπως λέει το Θεώρημα του D'Alembert, το υπόλοιπο (R) αυτού του τμήματος θα είναι ίσο με:
Ρ (3) = R
32 + 3 * 3 - 10 = R
9 + 9 - 10 = R
18 - 10 = R
R = 8
Έτσι, το υπόλοιπο αυτής της κατηγορίας θα είναι 8.
Παράδειγμα 2


Ελέγξτε εάν x5 - 2x4 + x3 + x - 2 διαιρείται με x - 1.
Σύμφωνα με τον D'Alembert, ένα πολυώνυμο διαιρείται από ένα διωνυμικό εάν P (a) = 0.
P (1) = (1)5 – 2*(1)4 + (1)3 + (1) – 2
P (1) = 1 - 2 + 1 + 1 - 2
P (1) = 3 - 4
P (1) = - 1
Επειδή το P (1) είναι μη μηδέν, το πολυώνυμο δεν θα διαιρείται από το διωνυμικό x - 1.
Παράδειγμα 3
Υπολογίστε την τιμή του m έτσι ώστε το υπόλοιπο της διαίρεσης του πολυωνύμου
P (x) = x4 - mx3 + 5χ2 + x - 3 επί x - 2 είναι 6.
Έχουμε αυτό, R = P (x) → R = P (2) → P (2) = 6
P (2) = 24 - m * 23 + 5*22 + 2 – 3
24 - m * 23 + 5*22 + 2 – 3 = 6
16 - 8m + 20 + 2 - 3 = 6
- 8m = 6 - 38 + 3
- 8m = 9 - 38
- 8m = - 29
m = 29/8
Παράδειγμα 4
Υπολογίστε το υπόλοιπο της διαίρεσης του πολυωνύμου 3x3 + x2 - 6x + 7 επί 2x + 1.
R = P (x) → R = P (- 1/2)
R = 3 * (- 1/2)3 + (–1/2)2 – 6*(–1/2) + 7
R = 3 * (- 1/8) + 1/4 + 3 + 7
R = –3/8 + 1/4 + 10 (mmc)
R = –3/8 + 2/8 + 80/8
R = 79/8

Μην σταματάς τώρα... Υπάρχουν περισσότερα μετά τη διαφήμιση.)

από τον Mark Noah
Αποφοίτησε στα Μαθηματικά
Σχολική ομάδα της Βραζιλίας

Πολυώνυμα - Μαθηματικά - Σχολείο της Βραζιλίας

Θα θέλατε να αναφέρετε αυτό το κείμενο σε σχολείο ή ακαδημαϊκό έργο; Κοίτα:

SILVA, Marcos Noé Pedro da. "Θεώρημα του D'Alembert"; Σχολείο της Βραζιλίας. Διαθέσιμο σε: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/teorema-dalembert.htm. Πρόσβαση στις 29 Ιουνίου 2021.

Ασκήσεις για λόγους και αναλογία

Ασκήσεις για λόγους και αναλογία

Στα μαθηματικά, όταν θέλουμε να συγκρίνουμε δύο ποσότητες, υπολογίζουμε το πηλίκο μεταξύ των αντί...

read more
Ασκήσεις σχετικά με την ομοιότητα των τριγώνων

Ασκήσεις σχετικά με την ομοιότητα των τριγώνων

παρόμοια τρίγωνα είναι τρίγωνα που έχουν τις τρεις αντίστοιχες γωνίες με το ίδιο μέτρο και τις πλ...

read more
Ασκήσεις σε κυκλική περιοχή στεφάνης

Ασκήσεις σε κυκλική περιοχή στεφάνης

Ο κυκλική περιοχή στεφάνης καθορίζεται από τη διαφορά μεταξύ της περιοχής του μεγαλύτερου κύκλου ...

read more