Το Θεώρημα του D'Alembert

Το θεώρημα του D'Alembert είναι μια άμεση συνέπεια του υπολοίπου θεώρηματος, το οποίο αφορά τη διαίρεση του πολυωνύμου από το διωνυμικό του τύπου x - a. Το υπόλοιπο θεώρημα λέει ότι ένα πολυώνυμο G (x) διαιρούμενο με ένα διωνυμικό x - a θα έχει το υπόλοιπο R ίσο με το P (a), για
x = α. Ο Γάλλος μαθηματικός D'Alembert απέδειξε, λαμβάνοντας υπόψη το παραπάνω θεώρημα, ότι ένα πολυώνυμο οποιοδήποτε Q (x) θα διαιρείται με x - a, δηλαδή, το υπόλοιπο της διαίρεσης θα είναι ίσο με μηδέν (R = 0) εάν P (a) = 0.
Αυτό το θεώρημα διευκόλυνε τον υπολογισμό της διαίρεσης του πολυωνύμου με το διωνυμικό (x –a), οπότε δεν είναι απαραίτητο να επιλυθεί ολόκληρη η διαίρεση για να γνωρίζουμε εάν το υπόλοιπο είναι ίσο ή διαφορετικό από το μηδέν.
Παράδειγμα 1
Υπολογίστε το υπόλοιπο της διαίρεσης (x2 + 3x - 10): (x - 3).
Όπως λέει το Θεώρημα του D'Alembert, το υπόλοιπο (R) αυτού του τμήματος θα είναι ίσο με:
Ρ (3) = R
32 + 3 * 3 - 10 = R
9 + 9 - 10 = R
18 - 10 = R
R = 8
Έτσι, το υπόλοιπο αυτής της κατηγορίας θα είναι 8.
Παράδειγμα 2


Ελέγξτε εάν x5 - 2x4 + x3 + x - 2 διαιρείται με x - 1.
Σύμφωνα με τον D'Alembert, ένα πολυώνυμο διαιρείται από ένα διωνυμικό εάν P (a) = 0.
P (1) = (1)5 – 2*(1)4 + (1)3 + (1) – 2
P (1) = 1 - 2 + 1 + 1 - 2
P (1) = 3 - 4
P (1) = - 1
Επειδή το P (1) είναι μη μηδέν, το πολυώνυμο δεν θα διαιρείται από το διωνυμικό x - 1.
Παράδειγμα 3
Υπολογίστε την τιμή του m έτσι ώστε το υπόλοιπο της διαίρεσης του πολυωνύμου
P (x) = x4 - mx3 + 5χ2 + x - 3 επί x - 2 είναι 6.
Έχουμε αυτό, R = P (x) → R = P (2) → P (2) = 6
P (2) = 24 - m * 23 + 5*22 + 2 – 3
24 - m * 23 + 5*22 + 2 – 3 = 6
16 - 8m + 20 + 2 - 3 = 6
- 8m = 6 - 38 + 3
- 8m = 9 - 38
- 8m = - 29
m = 29/8
Παράδειγμα 4
Υπολογίστε το υπόλοιπο της διαίρεσης του πολυωνύμου 3x3 + x2 - 6x + 7 επί 2x + 1.
R = P (x) → R = P (- 1/2)
R = 3 * (- 1/2)3 + (–1/2)2 – 6*(–1/2) + 7
R = 3 * (- 1/8) + 1/4 + 3 + 7
R = –3/8 + 1/4 + 10 (mmc)
R = –3/8 + 2/8 + 80/8
R = 79/8

Μην σταματάς τώρα... Υπάρχουν περισσότερα μετά τη διαφήμιση.)

από τον Mark Noah
Αποφοίτησε στα Μαθηματικά
Σχολική ομάδα της Βραζιλίας

Πολυώνυμα - Μαθηματικά - Σχολείο της Βραζιλίας

Θα θέλατε να αναφέρετε αυτό το κείμενο σε σχολείο ή ακαδημαϊκό έργο; Κοίτα:

SILVA, Marcos Noé Pedro da. "Θεώρημα του D'Alembert"; Σχολείο της Βραζιλίας. Διαθέσιμο σε: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/teorema-dalembert.htm. Πρόσβαση στις 29 Ιουνίου 2021.

Δεκαδικό σύστημα αρίθμησης

Δεκαδικό σύστημα αρίθμησης

Το σύστημα αρίθμησης μας, το οποίο είναι γνωστό ως δεκαδικό σύστημα αρίθμησης, βασίζεται στον αρι...

read more
Λύση ενός συστήματος εξισώσεων 1ου βαθμού με δύο άγνωστα μέσω γραφικής παράστασης

Λύση ενός συστήματος εξισώσεων 1ου βαθμού με δύο άγνωστα μέσω γραφικής παράστασης

Η λύση ενός συστήματος εξισώσεων 1ου βαθμού με δύο άγνωστα είναι το διατεταγμένο ζεύγος που ικανο...

read more
SAC: Σύστημα σταθερής απόσβεσης

SAC: Σύστημα σταθερής απόσβεσης

Η τρέχουσα χρηματοοικονομική αγορά προσφέρει διάφορες πιστωτικές πράξεις για όσους θέλουν να χρημ...

read more